Page 44 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 43
Kaç do˘ gal sayı, A = f4; 7; 10; 13; :::; 97; 100g 40+41+42+ +80 = 2460 oldu˘ gunu
kümesinin herhangi üç elemanının toplamı olarak yukarıdaki yöntemi kullanarak bulunuz.
yazılabilir?

A kümesinin herhangi üç elemanının
toplamıyla elde edilecek en küçük sayı 4 + 7 + 10 =
21’dir. En büyük sayı ise, 94 + 97 + 100 = 291’dür.
Buna göre, 3’er 3’er artan
21; 24; 27; :::; 289; 291
sayılarını tamamı elde edilebilir. (Örne˘ gin, 24 için,
4 + 7 + 13 = 24:) Bunların sayısı da
291 21
+ 1 = 91 F Ardı¸sık Sayıların Toplamı,F
3
olarak bulunur.
Ardı¸sık n sayının toplamı,
n (n + 1)
1 + 2 + 3 + + n =
2
ile ve ardı¸sık n tek sayının toplamı da
1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n 2
formülüyle hesaplanabilir.
Kaç do˘ gal sayı,

A = f5; 9; 13; 17; :::; 97; 101g
kümesinin herhangi dört elemanının toplamı olarak
yazılabilir?

S = (1 + 2 + 3 + + 30) (1 + 3 + 5 + + 19) =?

Yukarıdaki formülleri uygularsak,
30 31
Yanıt : 85. 1 + 2 + 3 + + 20 = = 465
2
ve
2
1 + 3 + 5 + + 19 = 10 = 100
oldu˘ gundan, S = 465 100 = 365 olur.

1 + 11 + 21 + 31 + + 491 toplamını
hesaplayınız.
Sayılar önce oldu˘ gu sırada, sonra da ters T = 1 + 2 + 3 + + n = n (n + 1)
sırada alt alta yazıp toplayalım. 2
1+ 11+ 21 + + 481 + 491 oldu˘ gunu ispatlayınız.
+ 491 + 481+ 471 + + 11 +1
492 + 492 + 492 + + 492 + 492 T = 1 + 2 + 3 + + n toplamını azalan
sırada tekrar yazıp alt alta toplayalım.
olur. Yani kaç tane 492 oldu˘ gunu hesaplayıp, 2’ye
bölersek toplamı bulabiliriz. Çünkü her bir ifadeyi iki T = 1 + 2 + 3 + + n
T = n + (n 1) + (n 2) + + 1
kez toplamı¸s olduk.
2T = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1)
491 1
+ 1 = 50
10 elde edilir. Yani, 2T; n tane (n + 1) sayısının
oldu˘ gundan, verilen sayıların toplamı : toplamına e¸sittir. Buradan,
50 492 n (n + 1)
= 12 300 2T = n (n + 1) ) T =
2 2
elde edilir. bulunur.