Page 46 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 45
1300; 780; 520; 660 sayılarından kaçı 13 (n + 1)+(n + 2)+(n + 3)+ +(n + 20)
ardı¸sık sayının toplamı olarak yazılamaz? toplamı tamkare olacak ¸sekildeki en küçük n do˘ gal
sayısı kaçtır?
n + 1; n + 2; :::; n + 13 sayıları 13 ardı¸sık
sayı olsunlar. Bunların toplamını hesaplarsak, Verilen toplamda 20 tane n oldu˘ gundan,
(n + 1) + (n + 2) + ::: + (n + 13) (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + + (n + 20)
= 13n + (1 + 2 + 3 + + 13) = 20n + (1 + 2 + 3 + + 20)
13 14
= 13n + yazabiliriz. Buradan,
2 20 21
= 13n + 13 7 20n + = 20n + 210
2
olur. Yani, 13 tane ardı¸sık sayının toplamı, 13’ün katı
olur. Bu toplamı tamkare yapan en küçük n sayısını
olmalıdır. Soruda, 1300; 780 ve 520; 13’ün katı
arıyoruz. Bu tamkare sayının 10’a bölünece˘ gi açıktır.
oldu˘ gundan ardı¸sık sayıların toplamı olarak yazılabilir. Çünkü toplanan iki sayıda 10’a bölünüyor. Yani, bu
660 yazılamaz. Çünkü, 13’ün katı de˘ gildir. toplam sonu 0 olan bir sayının karesi olmalıdır. Bu
Örne˘ gin, 520 için, durumda, a bir sayı olmak üzere,
13n + 13 7 = 520 2
20n + 210 = (a0)
e¸sitli˘ ginden, n = 47 olur. Yani,
¸ seklinde olmalıdır. Fakat, bu e¸sitlikte hem 20n hem de
2
( 46) + ( 45) + + ( 34) = 520 (a0) sayıları 4’e bölünürken, 210 sayısı 4’e bölünmez.
dir. O halde, bu e¸sitli˘ gin do˘ gal sayılarda sa˘ glanması
mümkün de˘ gildir.

255; 102; 0; 850 ve 5100 sayılarından
hangisi 51 ardı¸sık tamsayının toplamı olamaz? (U ˙ IMO (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + +
- 1998) (n + 19) toplamı tamkare olacak ¸sekildeki en küçük n
do˘ gal sayısı kaçtır?

Yanıt : 850, çünkü, 51’in katı olmayan sadece 850’dir.
2
Yanıt : n = 9 alınırsa, verilen toplam 19 de˘ gerine e¸sit olur.

Farklı pozitif tamsayılardan olu¸san bir
kümenin en büyük iki elemanının çarpımının S = 1 2 2 3 + 3 4 4 5 + + 99 100
3/7’si; geriye kalan elemanların toplamına e¸sitse; 100 101 =?
kümedeki sayılardan en büyü˘ günün alabilece˘ gi en
küçük de˘ ger nedir? (U ˙ IMO - 2007) Sırayla, bir pozitif ve bir negatif terim alıp
hesaplayalım.
Kümedeki sayılardan en büyü˘ günün 1 2 2 3 = 2 (1 3) = 2 ( 2) ;
alabilece˘ gi en küçük de˘ geri aradı˘ gımız için, kümemizi, 3 4 4 5 = 4 ( 2) ;
:::
f1; 2; 3; :::n 2; ; n 1; ng
99 100 100 101 = 100 ( 2)
¸ seklinde alabiliriz. Buna göre,
olaca˘ gından,
3 (n 2) (n 1)
n (n 1) 1+2+ +(n 2) = S = ( 2) (2 + 4 + + 100)
7 2
7 = ( 4) (1 + 2 + + 50)
e¸sitsizli˘ ginden; n (n 2) ) 6n 7n 14 ve 50 51
6 = = 5100
buradan da n 14 elde edilir. O halde, en büyük 4 2
elemanın en küçük de˘ geri 14 olur. elde edilir.