Page 49 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
48 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1; 2; 3; 4; :::; 19999 sonlu dizisinin Alp tahtaya 4, Ege tahtaya 1 sayısını
yazıyor. Sonra Alp ve Ege sırayla, di˘ gerinin son
ardı¸sık kaç teriminin toplamı 13678’dir?
yazdı˘ gı sayıdan, kendisinin son yazdı˘ gı sayıyı
çıkardı˘ gında elde etti˘ gi sayıyı yazıyor. Alp ve
Ege tahtaya toplam 50’¸ser sayı yazdıklarına göre,
tahtadaki tüm sayıların toplamı ne olur?

(UAMO - 1999) Tahtaya yazılan sayılar a¸sa˘ gıdaki gibi olacaktır.
Alp - Ege - Alp - Ege - Alp - Ege - Alp - Ege ....
Yanıt : 7.
4 1 3 4 1 3 4 1 ....
Görüldü˘ gü gibi, Alp ve Ege 3’er sayı yazdıktan sonra,
ilk ba¸sta yazdıkları sayıya dönüyorlar. Yani,
4; 1; 3; 4; 1; 3
sayıları sürekli tekrar edecek. Toplam 100 sayı
yazılaca˘ gından ve
6 16 = 96
50 yapraklı bir kitabın sayfaları
oldu˘ gundan, bu altı sayı 16 kez yazılacaktır. En son
1,2,3,... ,99,100
olarak da, dört sayı
sayıları ile numaralandırılmı¸stır. Bu kitaptan
4; 1; 3; 4
bir kaç yaprak koparılıp atıldıktan sonra; geriye
kalan sayfaların numaralar toplamı 4946 olmu¸stur. olacaktır. Buna göre, tahtadaki tüm sayıların toplamı :
Bu durumda; en fazla kaç yaprak koparılmı¸stır? 16 (4 + 1 3 4 1 + 3) + (4 + 1 3 4) = 2
(UAMO - 2002)
bulunur.

1 + 2 + + 99 + 100 = 5050
oldu˘ gundan, koparılmı¸s sayfaların numaralar toplamı
5050 4946 = 104
’tür. n numaralı yapra˘ gın sayfa numaralarının toplamı
(2n 1) + 2n = 4n 1
’dir. Bundan dolayı, k tane yaprak koparılmı¸ssa,
onların sayfa numaraları toplamı,
Yukarıdaki örne˘ ge göre, Ege’nin tahtaya
(4n 1 1) + (4n 2 1) + + (4n k 1)
yazdı˘ gı 29’uncu sayı kaçtır?
= 4 (n 1 + n 2 + + n k ) k
¸ seklinde olur.
4 (n 1 + n 2 + + n k ) k = 104
e¸sitli˘ ginin sa˘ glanması için, k’nın 4’e bölünmesi gerekir.
Fakat, k 8 olamaz, çünkü
4 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) 8 = 136 > 104
olur.
k = 4 durumuna bir örnek verelim : 1., 2., 3. ve 21.
yapraklar koparılmı¸ssa, sayfa numaraları toplamı :
(1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (41 + 42) = 104
olur.

Yanıt : 4.