Page 48 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 47
T (m; n) = m + (m + 1) + (m + 2) + Çift sayıdaki ardı¸sık sayının toplamı
+ (m + n) olarak tanımlanıyor. Buna göre, 100’dür. Buna göre en küçük sayı kaçtır?
T (T (1; 5) ; T (1; 9)) de˘ gerini hesaplayınız.
n tane ardı¸sık sayının toplamı 100 olsun.
Önce T (1; 5) ve T (1; 9) de˘ gerlerini Yani
hesaplayalım. (m + 1) + (m + 2) + + (m + n) = 100
T (1; 5) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 n m + (1 + 2 + + n) = 100
T (1; 9) = 1 + 2 + 3 + + 10 = 55
olsun. Buna göre,
oldu˘ gundan, n (n + 1)
n m + = 100
T (T (1; 5) ; T (1; 9)) = T (21; 55) 2
de˘ gerini bulmalıyız. Buradan, olacaktır. Payda e¸sitleyip, n parantezine alırsak,
n (2m + n + 1)
T (21; 55) = 21 + 22 + 23 + + 76 = 100
2
76 77 20 21
= = 2716 olur. Buradan da,
2 2
bulunur. n (2m + n + 1) = 200 = 8 25
bulunur.
n (2m + n + 1)
çarpanlarının biri tek biri çift olmalıdır. n çift iken
20 ardı¸sık sayının toplamı 510 oldu˘ guna çözümün olması; 2’nin en büyük kuvveti durumunda
göre bu sayıların en küçü˘ gü kaçtır? iken mümkündür.
Yani, n = 8 iken, 2m + n + 1 = 25 olabilir. Buradan
da,
20 21
(m+1) + (m+2) + + (m+20) = 20m+ 2m + 8 + 1 = 25;
2
e¸sitli˘ ginden, m = 8 bulunur. O halde, en küçük sayı
= 510
m + 1 = 9 bulunur.
e¸sitli˘ gine göre,
20m + 210 = 510;
e¸sitli˘ ginden, 20m = 300 ve m = 15 bulunur. O halde
en küçük sayı 16’dır.
Ardı¸sık n sayının toplamı 36’dır. Buna
göre n 2 kaç farklı de˘ ger alabilir?

1’den çok, tek sayıdaki ardı¸sık sayının
toplamı 72’dir. Buna göre en küçük sayı en fazla
kaç olabilir?

Bir önceki çözümde oldu˘ gu gibi, Yanıt : 2.
n (2m + n + 1) = 144 = 16 9
elde edilebilir. n (2m + n + 1) çarpanlarının biri 369 sayısı bir kaç ardı¸sık do˘ gal sayının
tek biri çift olmalıdır. n sayısı tek oldu˘ guna göre, toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir?
n < 2m + n + 1 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa, n = 3 (UAMO - 2000)
veya n = 9 olacaktır.
n = 3 ise, 2m + 3 + 1 = 48 e¸sitli˘ ginden m = 22;
n = 9 ise, 2m + 9 + 1 = 16, e¸sitli˘ ginden m = 3;
bulunur. Yani, 72 = 23 + 24 + 25 veya
72 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12

durumlarından biri olabilir. Buna göre, en küçük sayı
Yanıt : 5.
en fazla 23 olabilir.