Page 47 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
46 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Ali ve Betül, bir kutudan sırayla ¸seker
alıyor. Önce Ali 1 ¸seker, sonra Betül 2 ¸seker, sonra
f10; 11; 12; :::; 19g
Ali 3 ¸seker, sonra Betül 4 ¸seker biçiminde, sırası gelen
kümesinin her bir elemanı ile
çocuk, kutuda yeterince ¸seker kalmı¸ssa, bir önceki
f20; 21; 22; :::; 29g seferde di˘ ger çocu˘ gun aldı˘ gı ¸sekerin bir fazlasını
alıyor. Kutuda yeterli sayıda ¸seker kalmamı¸ssa,
kümesinin elemanları çarpılarak toplanırsa toplam
sırası gelen çocuk kutudaki bütün ¸sekerleri alıyor.
kaç olur?
Ali sonuçta toplam 101 ¸seker almı¸ssa, ba¸slangıçta
kutudaki ¸seker sayısı nedir? (U ˙ IMO - 2004)
Soruda istenen
(10 + 11 + + 19) (20 + 21 + + 29)
çarpımının sonucudur. Buna göre;
(19 + 10)
10 + 11 + + 19 = 10 = 145;
2
(29 + 20)
20 + 21 + + 29 = 10 = 245 Yanıt : 211.
2
oldu˘ gundan

145 245 = 35 525
elde edilir.
1 + 3 + 5 + + 97 + 99 ifadesinde en az
kaç "+" i¸sareti " " i¸sareti ile de˘ gi¸stirilmelidir ki;
sonuç 700’e e¸sit olsun? (UAMO - 2003)

2
1 + 3 + 5 + + 97 + 99 = 50 = 2500
Alper ve Berk, bir kutudan sırayla ¸seker
toplamında, bazı "+" i¸saretlerinin " " i¸sareti ile
alıyor. Önce Alper 2 ¸seker, sonra Berk 4 ¸seker,
de˘ gi¸stirildikten sonra ortaya çıkan yeni ifadede
sonra Alper 6 ¸seker, sonra Berk 8 ¸seker biçiminde,
pozitiflerin toplamı x ise, negatiflerin toplamı
sırası gelen çocuk, kutuda yeterince ¸seker kalmı¸ssa,
(2500 x) olur. Bunların toplamı 700 oldu˘ gundan
bir önceki seferde di˘ ger çocu˘ gun aldı˘ gı ¸sekerin
x (2500 x) = 700
iki fazlasını alıyor. Kutuda yeterli sayıda ¸seker
olmalıdır. Buradan, 2x = 3200 e¸sitli˘ ginden, x = 1600
kalmamı¸ssa, sırası gelen çocuk kutudaki bütün
olur. En az " " i¸sareti kullanmak için, en küçük
¸ sekerleri alıyor. Alper sonuçta toplam 61 ¸seker
sayıların önündeki "+" i¸saretleri kalmalıdır.
almı¸ssa, en son ¸seker alan kaç ¸seker almı¸stır?
2
1600 = 40 = 1 + 3 + 5 + + 77 + 79
oldu˘ guna göre, geriye kalan 81; 83; : : : ; 97; 99 (toplam
Alper’in aldı˘ gı ¸seker miktarı 2’nin katı
10 sayı) sayılarının önüne " " i¸sareti konulmalıdır.
olmadı˘ gına göre son ¸sekerleri Alper almı¸stır. Alper’in
aldı˘ gı ¸sekerlerin toplamı 61 ise, m de, kutudan alınan
son ¸seker sayısı olmak üzere,
(2 + 6 + 10 + + (4n + 2)) + m = 61
¸ seklinde yazabiliriz. Buna göre, 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + + 18 + 19
2
2 (1 + 3 + 5 + + (2n + 1)) = 2n + m = 61 ifadesinde en çok kaç "+" i¸sareti " " i¸sareti ile
de˘ gi¸stirilmelidir ki; sonuç 32’ye e¸sit olsun?
elde edilir. Burada, n = 5 olabilir. 4 olursa, kalan ¸seker
sayısı fazla olaca˘ gından süreç devam ederdi.
Böylece, n = 5 ise,
2
m = 61 2 5 = 11
olur. O halde, Alper en son 11 ¸seker almı¸stır.
Yanıt : 12, (( 1 2 3 11) + 12 13 + 14 +
15 + + 19).