Page 51 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
50 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
6 + 13 + 20 + + 1994 + 2001 1000’den küçük olan ve 2 veya daha
ifadesinin ba¸sından en az kaç terimi attı˘ gımız zaman; fazla ardı¸sık pozitif tamsayının toplamı olarak
kalan terimlerin toplamı 17’ye bölünür? (U ˙ IMO - 2001) yazılamayan kaç pozitif tamsayı vardır? (UMO
2006)
k
2 formunda, 1000’den küçük sayıları
yazarsak, 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256 ve 512 olur.
Bunların sayısı da 10 tanedir.

Yanıt : 12.

n tane pozitif ardı¸sık sayının toplamı Ardı¸sık sayıların toplamı olarak
1000 oldu˘ guna göre; n’nin alabilece˘ gi de˘ gerleri yazılamayan dört basamaklı en küçük do˘ gal sayı
bulunuz. kaçtır?

Yanıt : 1; 5; 16; 25: Yanıt : 2 10 = 1024:

16 sayısı 1’den fazla ardı¸sık pozitif
tamsayıların toplamı ¸seklinde yazılabilir mi?

n tane ardı¸sık sayının toplamı
(m + 1) + (m + 2) + + (m + n) = 16
olsun. A kümesi toplamı 2m olan m tane ardı¸sık
2m + n + 1 sayıdan ve B kümesi de toplamı m olan 2m tane
n = 16
2 ardı¸sık sayıdan olu¸smaktadır. A ve B kümelerinin
oldu˘ gundan, en büyük elemanlarının arasındaki fark 5 ise m
kaçtır?
n (2m + n + 1) = 32
olur. Sol tarafta bir tek ve bir de çift çarpan vardır. Sa˘ g m pozitif tamsayı olmak üzere,
taraf ise 1’den büyük iki tek ve çift sayının çarpımı m(2a + m + 1)
olarak yazılamaz. O halde, bu denklemin çözümü (a + 1) + + (a + m) = = 2m
yoktur. Yani, 16, ardı¸sık pozitif tamsayıların toplamı 2
e¸sitli˘ ginde, m’yi sadele¸stirip, düzenlersek,
¸ seklinde yazılamaz.
m = 3 2a
olur. Di˘ ger yandan,
(b + 1) + + (b + 2m) = m(2b + 2m + 1) = m
e¸sitli˘ ginden de m = b elde edilir. Bu iki denkleme
F Ardı¸sık Say. Toplamı Olmayan Sayılar F
göre a ve b’nin negatif olması gerekti˘ gi görülür. A ve
B kümelerinin en büyük elemanlarının arasındaki fark
5 ise,
1; 2; 4; 8; 16; 32
(b + 2m) (a + m) = b a + m = 5
k
gibi 2 biçimindeki sayılar, iki veya daha fazla ardı¸sık e¸sitli˘ ginde m = b yazılırsa; a = 5 bulunur.
sayının toplamı olarak yazılamazlar. Buradan,
m = 3 2a = 3 2 ( 5) = 13
olur.