Page 50 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 49
1; 2; 3; :::; 2012; 2013 sayılarının tüm Bir kitabın sayfalarını numaralamak için
rakamlarının toplamı kaçtır? toplam olarak 2933 rakam kullanılmı¸stır. Bu kitap

kaç sayfadır? U ˙ IMO - 2000
Önce, 1,2,3,...,999 sayılarının rakamlarının
toplamını bulalım. 0,1,2,...,9 rakamları ile Sayfaların numaralandırılmasında; 1’den
olu¸sturulacak üç basamaklı bir sayıda her bir basa- 9’a kadar 9 rakam; 10’dan 99’a kadar 90 2 rakam
makta 0,1,2,...,9 rakamları 1000=10 kez bulunur. O ve 100’den 999’a kadar da 900 3 = 2700 rakam
halde; 1; 2; 3; :::; 999 sayılarının rakamlarının toplamı kullanılmı¸stır. O halde; 999 sayfa olan bir kitapda

1000 kullanılan rakam sayısı :
(0 + 1 + + 9) 3 = 13500
10 2700 + 180 + 9 = 2889
olur. O halde; olur. Dolayısıyla;
1000; 1001; 1002; :::; 1999 2933 2889 = 44
sayılarının rakamları toplamı da, rakam daha kullanılmalıdır. Artık sayılar 4’e basamaklı
13500 + 1000 = 14 500 (Ek olarak 1000 tane 1 oldu˘ gundan, 44=4 = 11 sayfa daha olmalıdır. Böylece,
ekledik.) sayfa sayısı 999 + 11 = 1010 olur.
olur. Son olarak,
2000; 2001; :::; 2013
sayılarının rakamları toplamı ise,
Bir kitabın sayfaları 1,2,3,... ¸seklinde
T = 2 14 + 1 + 2 + + 9
do˘ gal sayılarla numaralandırılıyor. Kitabın sayfa
+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + (1+3) numaraları toplanmak istenirken yanlı¸slıkla bir
9 10 sayfa iki kez toplanıyor ve 2012 sonucu bulunuyor.
= 28 + + 10 = 83
2 Kitabın 2 kez toplanan sayfa numarası kaçtır?
bulunur. Böylece, 1; 2; 3; :::; 2013 sayılarının tümünün
rakamları toplamı Kitabın sayfa sayısı n olsun ve k sayfa
13500 + 14500 + 83 = 28 083 numaralı sayfa iki kez toplanmı¸s olsun. Bu durumda;
1 k n olmak üzere
olarak bulunur.
n (n + 1)
+ k = 2012
2
olur. Di˘ ger taraftan;
62 63 63 64
= 1953 < 2012 < = 2016
2 2
oldu˘ gundan kitabın sayfa sayısı n = 62 olmalıdır.
Böylece;
1953 + k = 2012
1’den 100’e kadar sayıların yanyana e¸sitli˘ ginden k = 59 bulunur.
yazılmasıyla elde edilen sayının rakamları toplamını
bulunuz.

Kitabın sayfa numaralarının toplamını
bulmak isteyen bir ö˘ grenci bir sayfanın numarasını
dalgınlıkla iki kez hesaba katıyor ve sonuçta 2000
˙
buluyor. Iki kez hesaba katılan sayfa numarası nedir?
(U ˙ IMO - 2000)

Yanıt : 2 10 (1 + 2 + 3 + + 9) + 1 = 901: Yanıt : 47.