Page 52 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 51
5
3 sayısı en çok sayıda ardı¸sık pozitif 1 + 2 + 3 + + n ifadesi tamkare olacak
tamsayının toplamı olarak yazıldı˘ gında ilk sayı kaç ¸ sekilde 100’den küçük kaç n pozitif tamsayısı
olur? kaçtır?

k 2 Z olmak üzere,
(k + 1) + (k + 2) + + (k + m) = 3 5 n (n + 1) 2
1 + 2 + 3 + + n = = k
olacak ¸sekildeki en büyük m sayısını arıyoruz. 2
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan 100’den küçük en büyük n pozitif
5
m (2k + m + 1) = 2 3
tamsayısını arıyoruz. n sayısı ile n + 1 sayıları
e¸sitli˘ gine göre; aralarında asal oldu˘ gundan çarpımlarının tamkare
olması için biri tamkare olmalı, di˘ geri ise 2’ye
m < 2k + m + 1
bölündü˘ günde tamkare olmalıdır. Buna göre,
2
olacak ¸sekilde; m en büyük m = 2 3 seçilebilir. Bu n + 1
durumda; n ve
2
2
2k + 2 3 + 1 = 3 3 tamkare olacak ¸sekildeki sayıları arayalım. n + 1’in
çift olması gerekti˘ ginden n; tek tamkareler olmalıdır.
e¸sitli˘ ginden 2 n + 1 2
27 18 1 9 için 2 tamkare de˘ gildir. n = 7 için,
k = = 4
2 n + 1
elde edilir. O halde; ilk sayı 5 olur. 2 = 25
olur ki, istenen ko¸sulu sa˘ glar. Bu durumda, k = 35
olur.
n
¸ Simdi de, n + 1 ve tamkare olacak ¸sekildeki sayıları
2
inceleyelim. n=2 sayısının bir tamkare olması için, n
sayısı 2’nin bir tek kuvveti olmalıdır. Bunu sa˘ glayan
100’den küçük tek sayı n = 8’dir. O halde, n = 8 ve
n = 49 ko¸sulu sa˘ glar.

1 3 3 5+5 7 7 9+ +97 99 99 101
toplamını hesaplayınız.

k + (k + 1) + (k + 2) + + (k + 9) Yanıt : 5100:
toplamının sonucunun rakamları 0’dan farklı
ve rakamları toplamı 15’tir. Buna göre k do˘ gal
n 2 N ve 1000 < n < 2000 olmak üzere,
sayısının basamak sayısı en fazla kaç olabilir?
1 + 3 + 5 + 7 + + (2n 1)
Toplamın sonucu S olsun. (2n + 1) + (2n + 3) + + (4n 1)
S = 10k + (1 + 2 + + 9) = 10k + 45 ifadesi kaçtır?
sayısına e¸sit olmalı. Yani, son rakam 5 olmalı. Buna
göre, rakamları toplamı 15 olmak üzere, en çok
basamak için, 15 5 = 10 tane 1 kullanarak, toplamın
sonucunu
S = 11111111115
1
¸ seklinde yazalım. Bu durumda Yanıt : :
3
k = 1111111107
olur. Yanıt 10.