Page 56 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 55
2
Bir köyde yeti¸skin erkeklerin ’si, yeti¸skin Bir kasa elma, bir odada bulunan
3
3 çocuklara, en çok elma alan çocukta elmaların 1/5’i,
kadınların da ’ü evlidir. Evli çiftlerin tümü
7 en az elma alan çocukta elmaların 1/7’si olacak ¸sekilde
birlikte köyde ya¸sıyorsa, bu köydeki yeti¸skinlerin da˘ gıtılıyor. Odada en çok kaç çocuk vardır? (U ˙ IMO -
kaçta kaçı evlidir? (U ˙ IMO - 2002)
2007)
Yeti¸skin erkeklerin sayısı x ve yeti¸skin
kadınların sayısı da y olsun. Buna göre, evli yeti¸skin
erkeklerin sayısı 2x=3 ve evli yeti¸skin kadınların sayısı
da 3y=7’dir. Evli erkeklerin ve kadınların sayısı e¸sit
olaca˘ gından
2x 3y 9y
= , yani x =
3 7 14
olur. Buna göre, köydeki evli yeti¸skinlerin, tüm
yeti¸skenlere oranı
Yanıt : 6.
2x 3y 2 9 3 6
+ y + y y
3 7 = 3 14 7 = 7 = 12
x + y 9 23 23
y + y y
14 14
elde edilir. Yani, yeti¸skinlerin 23’te 12’si evlidir.

Deniz ve Damla’nın, bazıları sarı, bazıları
Bir miktar kalem, bir sınıftaki en ba¸sarılı lacivert olmak üzere toplam 57 topu var. Deniz’in
ö˘ grencilere ba¸sarı derecesine göre da˘ gıtılıyor. En 5 4
toplarının ’i ve Damla’nın toplarının ’ü sarı
az kalem alan, tüm kalemlerin 3=20’sini, en fazla 11 13
ise, topların kaçı laciverttir?
kalem alan da, tüm kalemlerin 1=4’ünü alıyor.
Ö˘ grencilerin herbiri farklı sayıda kalem aldı˘ gına Deniz ve Damla’nın toplarının sayısını Z
göre, en fazla sayıdaki ö˘ grenci için en az kaç kalem
ve S ile gösterelim.
vardır?
Z + S = 57
Kalem sayısına x; ba¸sarılı ö˘ grenci sayısına olarak verilmi¸s. Deniz’in toplarının sayısı 11’in katı
3x ve Damla’nın toplarının sayısı da 13’ün katı oldu˘ gu
da n diyelim. En az kalem alan 20 ve en çok kalem
x gözönüne alınırsa,
alan da kalem aldı˘ gından, geriye n 2 ki¸si kalır. Z = 11k ve S = 13m
4
n 2 ki¸siye kalan kalem sayısı da,
yazılabilir. Buna göre,
3x x 3x
x = 11k + 13m = 57
20 4 5
olacaktır. Bu sayının n 2’ye bölümü, en az kalem denklemine göre, k = 4 ve m = 1 olmalıdır. Yani,
3x Deniz’in 44 ve Damla’nın 13 topu vardır. Buna göre,
sayısı olan ’den büyük olmalı. Yani,
20 Damla’nın lacivert top sayısı
3x 9
5 > 3x 13 13 = 9
n 2 20 ve Deniz’in lacivert top sayısı da
olması gerekiyor. Buna göre, n 2 < 4 olmalıdır. 6
Buradan, n < 6 olaca˘ gından, n en fazla 5 olabilir. 44 = 24
3x x 11
n = 5 için, ve arasında 3 sayı daha olmalı. oldu˘ gundan,
20 4
3x x 6x 10x 24 + 9 = 33
< a < ) < a <
20 4 40 40
olursa, istenen sa˘ glanır. Bu durumda, 40 kalem top laciverttir.
olursa, 5 ö˘ grenciye da˘ gıtılan kalem sayıları 6,7,8,9,10
olacaktır.