Page 60 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 59
100 101 102 103 3’den küçük olan ve en sadele¸smi¸s
; ; ; ; :::
1 2 3 4 durumda paydası 30 olan tüm pozitif rasyonel
sayılarından kaçı tamsayıdır? sayıların toplamını bulunuz.

0 ile 1 arasında istenen ¸sekildeki rasyonel sayılar
1 7 11 13 17 19 23 29
; ; ; ; ; ; ;
30 30 30 30 30 30 30 30
sayılarıdır. Bu sayıların toplamı ise
1 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29
= 4
30
olur. Ama bizden 3’den küçük olan tüm rasyonel
sayıların toplamı istenmi¸sti. 1 ve 2 arasındaki istenen
¸ sekildeki sayıları, bu sayılara 1 ekleyerek, 2 ve 3
arasındaki istenen sayılar da, bu sayılara 2 ekleyerek
Yanıt : 6. elde eelde edebiliriz.
1 7 11 13
1 + ; 1 + ; 1 + ; 1 + ;
30 30 30 30
17 19 23 29
1 + ; 1 + ; 1 + ; 1 + ;
30 30 30 30
1 7 11 13
2 + ; 2 + ; 2 + ; 2 + ;
30 30 30 30
17 19 23 29
2 + ; 2 + ; 2 + ; 2 +
30 30 30 30
O halde, istenen toplam, 8’er kesir oldu˘ gundan,
3 4 + 8 1 + 8 2 = 36
bulunur.

n tamsayı olmak üzere,
n
12 < < 21
5
n
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan ve sadele¸stirilemeyen
5
17x 5 14x + 5 ¸ seklindeki kesirlerin toplamı kaçtır? (U ˙ IMO - 2009)
ve
6 9
sayılarının ikisi de tamsayı olacak biçimde kaç tane
x tamsayısı vardır? (UAMO- 2003) n
12 < < 21 ise, 60 < n < 105
5
bulunur. n=5 kesirinin sadele¸stirilememesi için, n
17x 5 14x + 5 sayısı 5 ile aralarında asal olmalıdır. Buna göre, n
= m ve = n; (m; n 2 Z)
6 9 sayısı, 5’in katı olmamalıdır. Buan göre, istenen
olsun. Her iki denklemden de x’i yalnız bırakıp, ¸ sekildeki n sayılarının toplamı,
e¸sitlersek, S = (61 + 62 + + 103 + 104)
6m + 5 9n 5
x = = (65 + 70 + + 100)
17 14
olur. Buradan, içler dı¸slar çarpımı yaparsak, sırasıyla = (104 61 + 1) 104 + 61
2
84m + 70 = 153n 85;

20 + 13
153n 84m = 155 5 (20 13 + 1) = 2970
2
bulunur. Son e¸sitli˘ gin sol tarafı 3’e bölünür ancak, sa˘ g n
tarafı bölünmez. bulunur. Fakat, biz 5 ¸ seklindeki kesirlerin toplamını
Sonuç olarak, problemin ko¸sullarını sa˘ glayan x 2970
aradı˘ gımız için, istenen yanıt = 594 bulunur.
tamsayısı yoktur. 5