Page 61 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
60 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1 2 3 9 1 1 1 1
+ + + + = x ise, S = + + + + =?
2 3 4 10 1 2 2 3 3 4 100 101
3 7 11 19
+ + + + =? Toplamdaki her bir kesiri,
2 12 30 90
1 1 1
= ;
1 2 1 2
3 7 11 19 1 1 1
+ + + + = ;
2 12 30 90 2 3 2 3
:::;
toplamındaki her bir kesiri parçalayalım. Buna göre,
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 =
1 + + + + + + + + 100 101 100 101
2 3 4 5 6 9 10
biçiminde yazabiliriz. Yani; her bir terimi
olur. Yani,
1 1 1
1 1 1 k (k + 1) = k k + 1
1 + + + +
2 3 10 ¸ seklinde basit kesirlere ayırabiliriz. Bu ba˘ gıntıyı S
de˘ gerini x cinsinden bulmak istiyoruz. Di˘ ger yandan, x toplamındaki her bir terime uygularsak;
ifadesindeki her bir kesirden 1 çıkarırsak, 1 1 1 1 1 1 1
S = 1 + + + +
1 2 9 2 2 3 3 4 100 101
x 9 = 1 + 1 + + 1
2 3 10 1 100
= 1 =
1 1 1 1 101 101
=
2 3 4 10 elde edilir.
e¸sitli˘ ginden,
1 1 1
+ + + = 9 x
2 3 10
elde edilir. O halde,
1 1 1
1 + + + + = 10 x
2 3 10 1 1 1 1
bulunur. S = + + + + =?
1 5 5 9 9 13 101 105
Her bir kesiri yine iki kısıma ayırarak
çözebiliriz. Kesirin paydasındaki sayılar arasındaki
artı¸s miktarının 4 oldu˘ gu göz önüne alınarak; verilen
toplamdaki her bir terim

1 1 1 1
F Kesir Parçalayarak Toplam Hesaplama F = ;
1 5 4 1 5

Paydalarının e¸sitlenmesi mümkün olmayan toplam 1 = 1 1 1 ;
sorularında, her bir kesir, iki kesirin farkı ¸seklinde 5 9 4 5 9
yazılarak sonuca ula¸sılmaya çalı¸sılır. :::;
Örne˘ gin,
1 1 1 1
1 1 1 =
+ + 101 105 4 101 105
1 2 2 3 3 4 1
ifadesindeki her bir kesiri biri pozitif biri negatif iki olarak yazılabilir. Buna göre; parantezine alarak;
4
parçaya ayırabiliriz. 1 1 1 1 1 1 1 1
S = + + +
1 1 1 1 1 1 4 1 5 5 9 9 101 105
+ +
1 2 2 3 3 4 1 1 26
= 1 =
Negatif ve pozitif aynı kesirler birbirini götürece˘ ginden, 4 105 105
geriye sadece
bulunur.
1 1 3
=
1 4 4
kalır.