Page 68 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 67
2 2 4
A¸sa˘ gıdaki ifadeyi sadele¸stiriniz. 10 + 1; 10 + 2; ::::; 10 + 1
kümesindeki kaç eleman tamkaredir?
1 1 1 1
+ + +
n
n
1000 n +1 1001 n +1 1000 +1 1001 +1
Elemanları, 10’un karesinden birer birer
Herhangi bir a pozitif sayısı için, artarak, en son 10 = 100’ün karesinden bir fazlasına
2
1 1 1 1 kadar devam ediyor. O halde,
+ = + 2 2 2 2
n
n
a n + 1 a + 1 1 + 1 a + 1 11 ; 12 ; 13 ; :::; 100
a n bu kümenin elemanları olmalıdır. Bunların sayısı da,
n
a + 1
= = 1 100 11 + 1 = 90
n
a + 1
oldu˘ gundan, olarak bulunur.
1 1
+ = 1
n
1000 n + 1 1000 + 1
ve
1 1
+ = 1
1001 n + 1 1001 + 1
n
olur. O halde yanıt 2’dir.
1=3
1 3 9 + 2 6 18 + 3 9 27 + + 10 30 90
S =
1 2 4 + 2 4 8 + 3 6 12 + + 10 20 40
de˘ gerini hesaplayınız.
3 3 3 ! 1=3 1=3
A¸sa˘ gıdaki toplamı hesaplayınız. 27 1 + 2 +3 + + 10 3 3 3
S = 3 3 3 = 3 =
1 1 1 1 8 1 + 2 +3 + + 10 2 2
99
3 100 +1 + 3 99 +1 + + 3 +1 + 3 100 +1 bulunur.
Bir ba¸stan, bir de sondan alarak iki¸ser iki¸ser toplayalım.
1 1
+ = 1;
3 100 + 1 3 100 + 1
1 1 x x
+ = 1; 2 + 3
3 99 + 1 3 99 + 1 A (x) = ¸ seklinde tanımlansın.
::: x x
Buna göre, A (2) kaçtır?
oldu˘ gu kolayca görülebilir. Yani; n 2 Z için;
1 + 1 = 1 A (x) ifadesinde, tüm x gördü˘ gümüz
n
3 n + 1 3 + 1
yerlere, x = 2 yazarsak, A (2)’yi bulmu¸s oluruz. Buna
oldu˘ gundan; n = 1; 2; :::; 100 için, 100 tane 1 vardır.
göre,
n = 0 için de,
1
1 1 2 2 + 3 2 4 + 9
= A (2) = = = 37
3 + 1 2 2 2 1
0
oldu˘ gundan, 4
bulunur.
1
S = 100 + = 100; 5
x
2 x + 3 x
A (x) = ¸ seklinde tanımlansın.
bulunur. x x
Buna göre, A (3) kaçtır?

Yanıt : 730: