Page 71 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
70 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1 (1 + 3) + 2 (2 + 5) + 3 (3 + 7) +
4 (4 + 9) + + 10 (10 + 21) toplamının de˘ geri S = 1 2003 + 2 2002 + + 2001 3
kaçtır?
+ 2002 2 + 2003 1
toplamının kaç asal böleni vardır? (UMO - 2003)

S toplamını;
S = 1 (2004 1) + 2 (2004 2) + 3 (2004 3)
+ + 2003 (2004 2003)
Yanıt : 1210.
¸ seklinde yazabiliriz. Bu ifadeyi düzenlersek,
2 2 2
(1+2+3+ +2003) 2004 1 +2 + +2003
olur. Buradan, toplam :
2003 2004 2003 2004 4007
S = 2004
1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; :::; n; n; n; :::; n; ::: 2 6

| {z } 4007
n tane = 2003 2004 1002
dizisinin ilk 200 teriminin toplamını bulunuz. 6
= 334 2003 (6012 4007)
Bir tane 1; iki tane 2; üç tane 3 ¸seklinde = 2 5 167 401 2003
devam etti˘ ginden; n tane n sayısıyla birlikte dizinin
bulunur. O halde, 5 asal böleni vardır.
eleman sayısı
n (n + 1)
1 + 2 + + n =
2
olur. 200’üncü elemanı aradı˘ gımız için
n (n + 1)
200
2
olmalı. Buna göre; n = 19 olur. Bu durumda; 200
(19 20) =2 = 10 tane eleman da 20 olur. Yani; 1 20 + 2 19 + 3 18 + 4 17 + + 20 1
1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; :::; 19; 19; :::; 19;20; 20; :::; 20 toplamının de˘ geri kaçtır?
| {z }| {z }
19 20 =190 tane 10 tane
2
¸ seklindedir. Buna göre ilk 190 terimin toplamı;
19 20 39
2
2
2
1 + 2 + 3 + + 19 = = 2470
6
olur. 10 tane de 20 terimi olaca˘ gından yanıt 2670
bulunur.
Yanıt : 1540.

1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; :::
dizisinin ilk 100 teriminin toplamı kaçtır?
(U ˙ IMO - 1999)
F Küplerin Toplam Formülü F

n (n + 1) 2
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + + n =
2
Yanıt : 945.