Page 70 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 69
Toplam Formülleri T = 1 + 3 + 5 + + 21 2 toplamını
2
2
2
hesaplayınız.
Daha önce,
n (n + 1) ˙ Istenen toplam
1 + 2 + 3 + + n =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
oldu˘ gunu görmü¸stük. ¸Simdi de,di˘ ger toplam T = 1 +2 +3 + +21 2 + 4 + 6 + 20
formüllerini görece˘ giz. sayısına e¸sittir.
2
2
2
2
2
2
2
2 +4 +6 +20 = 2 2 1 + 2 + 3 + + 10 2
oldu˘ gundan,
21 22 43 10 11 21
T = 4
6 6
21 11
= (86 40) = 1771
6
bulunur.
T = 1 2 + 2 3 + 3 4 + + 99 100 =?
Verilen toplamdaki her bir terimdeki
büyük çarpanı a¸sa˘ gıdaki gibi yazıp, açarak formüller

F Karelerin Toplam Formülü F yardımıyla hesaplayabiliriz.

T = 1 (1+1) +2 (1+2) +3 (1+3) + +99 (1+99)
2
2
2
n (n + 1) (2n + 1) = 1+1 +2+2 +3+3 + +99+99 2
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + + n = 2 2 2
6 = (1+2+3+ +99) + 1+2 +3 + +99
99 100 99 100 199
= +
2 6

99 100 199
= 1 +
2 3
= 333300:
2
2
2
11 +12 + +20 toplamını hesaplayınız.
2 2
1 + 3 1 + 2 + 2 + 3 2 + 2 + +
˙ Istenen toplam, 10 + 3 10 + 2 =?

2
2 2 2 2 2 2
1 + 2 + + 20 1 + 2 + + 10
Verilen toplamı
de˘ gerine e¸sittir. Buna göre,
2 2 2
20 21 41 10 11 21 10 21 1 + 2 + + 10 + 3 (1 + 2 + + 10) + 10 2
= (82 11) = 2485
6 6 6 ¸ seklinde yazabiliriz. Buradan,
bulunur. 10 11 21 10 11
+ 3 + 20 = 570
6 2
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + + 99 sayısının son
bulunur.
rakamı kaçtır? (U ˙ IMO - 2004)
1 (1 + 3) + 2 (2 + 3) + 3 (3 + 3) +
4 (4 + 3) + +20 (20 + 3) toplamının de˘ geri kaçtır?
Yanıt : 0: (T = 33 50 199) Yanıt : 3500.