Page 72 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 71
2
2
2
2
3 1 ; 5 2 ; 7 3 ; 9 4 ; ::: dizisinin ilk n
teriminin toplamı nedir?
3
3
3
T = 11 + 12 + + 20
ifadesinin en büyük asal çarpanı kaçtır? Bu dizinin n’inci terimi (2n + 1) n ’dir.
2
Buna göre; toplamı
2
T = (2 1 + 1) 1 + (2 2 + 1) 2 2
3 3 3 3 3 3
T = 1 + 2 + + 20 1 + 2 + + 10 + (2 3 + 1) 3 + + (2n + 1) n 2
2
¸ seklinde yazalım. Buradan, ¸ seklinde ifade edebiliriz. Bu ifadeyi düzenlersek,
2 2
20 (20 + 1) 10 (10 + 1) T = 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 n 3
3
3
3
2
T = = 210 55 2
2 2 2 2 2 2
+ 1 + 2 + 3 + + n
2
olur. Burada; 5 parantezine alıp iki kare farkı
lur. Buradan
özde¸sli˘ gini, yani,
2
2
2
a b = (a b) (a + b) T = 2 n (n + 1) + n (n + 1) (2n + 1)
2 6
e¸sitli˘ gini uygularsak;
1 2
2
(210 55) (210 + 55) = 5 (42 11) (42 + 11) = n (n + 1) 3n + 5n + 1
6
2
= 5 31 53 bulunur.
olur. Böylece; en büyük asal çarpan 53 olarak bulunur.
2
2
2
2
11 1 + 10 2 + 9 3 + + 2 10 +
2
1 11 =?
3
3
3
S = 1 + 3 + 5 + + 101 3

toplamı kaçtır? U ˙ IMO - 1996
3
3
S = 1 + 3 + + 101 3 Yanıt : 1716:
3 3 3 3 3 3 3
= 1 +2 +3 + +101 2 +4 + +100
2
101 102 3 3 3 3
= 2 1 + 2 + + 50
2
2
2 3 50 51
= (101 51) 2
2 F Geometrik Artan Toplamın Hesaplanması F
2
2
2
= 101 51 2 50 51 2
2
= 51 2 101 2 50 2 a 6= 1 olmak üzere,
r
a 1
= 2601 5201 1 + a + a + a + + a r 1 =
3
2
a 1
olur.
ile hesaplanır.
3
2
Kanıt : S = 1 + a + a + a + + a r 1 diyelim.
2
3
aS = a + a + a + + a r
olur. Bu iki ifadenin farkından;
r
aS S = a 1
r
a 1
olur. Buradan S = oldu˘ gu görülür.
a 1