Page 74 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 73

F Toplam Sembolü Hakkında Kısa Bilgi F S = 1 3 + 3 5 + 5 7 + + 19 21 =?

P
sembolüne Toplam sembolü denir. Toplamları, Bu toplamı, toplam sembolüyle,
uzun uzun yazmak yerine bu sembolü kullanarak kısaca
10 P
ifade etmek mümkündür. Bu kitapta bu sembol kul- S = (2k 1) (2k + 1)
lanılmayacaktır. Fakat, bu gösterimi bilmeniz bir çok k=1
¸ seklinde yazabiliriz. Buna göre, toplam içindeki
i¸slemi kısaltacaktır. Bir kaç tane örnek yaparak, sem-
ifadeleri çarparsak,
bolün nasıl kullanıldı˘ gını görece˘ giz.
10 P 10 P
2
S = (2k 1) (2k + 1) = 4k 1
Toplam Sembolü : Herhangi sayıdaki terimlerin
P k=1 k=1
toplamını; (sigma okunur.) sembolüyle daha kısa
10 P 2 10 P
¸ sekilde ifade edebiliriz. Örne˘ gin; = 4 k 1
k=1 k=1
1 + 2 + 3 + + 1000
olur. Buradan,
toplamını toplam sembolüyle 10 11 21
S = 4 10 = 1530
1000 6
P
k elde edilir.
k=1
¸ seklinde kısaca ifade edebiliriz. Bu gösterim; k yer-
ine 1’den 1000’e kadar de˘ gerler verilip, bu de˘ gerlerin
toplanılaca˘ gını gösterir. Burada k de˘ gi¸sen sayıyı göster-
mektedir ve alt sınırdaki k = 1 ifadesi de˘ gi¸sen sayının
kaçtan ba¸slayaca˘ gını ve üst sınırdaki 1000 ifadesi ise
sayının nerede en son de˘ geri alaca˘ gını gösterir. Alt ve 10 P k (k + 1) =?
üst sınır daima tamsayıdır. Örne˘ gin; k=1
4 P k 1 2 3 4
k n = 1 n + 2 n + 3 n + 4 n = 288n
k=1
ifadesinde n sayısının de˘ gi¸smesi gerekmedi˘ gini
görünüz. Çünkü de˘ gi¸smesi gereken sayı k olarak
belirtilmi¸stir.
Örne˘ gin; 5 6 7 + 6 7 8 + + 100 101 102 toplamını
Yanıt : 440.
toplam sembolü ile;
100
P
k (k + 1) (k + 2) 10 P
k=5 (k 1) k (k + 1) =?
k=1
¸ seklinde gösterebiliriz.
Bu gösterimi kullanarak, iyi bildi˘ gimiz bazı formülleri
n (n + 1)
n P
F k = ;
k=1 2
n (n + 1) (2n + 1)
n P
F k = ;
2
k=1 6 Yanıt : 2970.
2
F n P k = n (n + 1)
3
k=1 2
¸ seklinde ifade edebiliriz. Buna göre, 1’den n’ye kadar (n dahil) olan
sayıların herbiri, kendisinden 10 fazlasıyla çarpılarak
n P 2 n P 3
k k + 2 = k + 2k = toplanıyor. Elde edilen de˘ geri n cinsinden bulunuz.
k=1 k=1
2
n (n + 1)
+ n (n + 1)
2
¸ seklinde yazılabilir.
31 11 1
n P 2 3
Yanıt : k (k + 10) = n + n + n :
k=1 6 2 3