Page 76 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 75
Bir sınıfta, matematik dersinden 1’den 1000’e kadar olan sayılardan kaç
geçenlerin sayısı, fen bilgisi dersinden geçenlerin tanesi 3, 5 veya 7 ile tam bölünür?
sayısından 5 eksik, hem matematik hem de fen
bilgisi dersinden geçenlerin sayısından 15 fazladır. 1’den 1000’e kadar olan sayıların, 3, 5 ve
Matematik veya fen bilgisi dersinden geçen 25 ki¸si 7’ye bölünenlerin sayısını bulalım.
varsa, sadece matematikten geçen kaç ki¸si vardır? 5 7
1000 3 1000 1000
Matematik dersinden geçenlerin sayısı x 333 200 142
1 0 6
olsun. Bu durumda, fen bilgisi dersinden geçenlerin
sayısı x + 5; hem matematik hem de fen bilgisi oldu˘ gundan, 333 tanesi 3’e; 200 tanesi 5’e; 142
dersinden geçenlerin sayısıda x 15 olacaktır. Buna tanesi ise 7’ye bölünür. Bunun yanında;
göre, 21 35
1000 15 1000 1000
s (M) = x; s (F) = x + 15; s (M \ F) = x 15
66 47 28
yazılabilir. Matematik veya fen bilgisi dersinden geçen 10 13 2
25 ki¸si varsa,
oldu˘ gundan, 3 ve 5’e bölünenlerin sayısı 66; 3 ve 7’ye
s (M [ F) = 25 bölünenlerin sayısı 47 ve 5 ve 7’ye bölünenlerin sayısı
28’dir. Son olarak; 3; 5 ve 7’ye bölünenlerin sayısı;
olur. Böylece,
1000 105
s (M [ F) = s (M) + s (F) s (M \ F)
9
25 = x + (x + 5) (x 15) = x + 20
55
denkleminden
oldu˘ gundan, 3; 5 veya 7’ye bölünenlerin sayısı
x = 5
333 + 200 + 142 66 47 28 + 9 = 543
bulunur.
bulunur.

F Üç Küme Için Içerme Dı¸sarma Prensibi F
˙
˙

Bir tamsayının karesi yada küpü
olmayan sayılar sırasıyla yazılarak elde edilen
2; 3; 5; 6; 7; 10; ::: sayı dizisinin 1601’inci terimi
kaçtır?

1 ile 1601 arasında;
2
2
2
2
1 ; 2 ; 3 ; :::; 40 tamkareleri vardır. Bunların
sayısı 40’dır.
3
3
3
3
A; B ve C kümelerinin eleman sayıları arasında; 1 ; 2 ; 3 ; :::; 11 = 1331 tamküpleri vardır ve
bunların sayısı da 11’dir.
s (A [ B [ C) = s (A) + s (B) + s (C) 6 6 6
1 ; 2 ; 3 altıncı kuvvetleri vardır. Bunların sayısı
s (A \ B) s (A \ C) s (B \ C) da 3’tür. Bu sayılar hem tamkareler hem de tamküpler
+ s (A \ B \ C) hesaplanırken sayılmı¸stır.
O halde;
e¸sitli˘ gi vardır.
1601 + (40 + 11 3) = 1649
olur.
2
41 = 1681
oldu˘ gundan; tamkare ve tamküpler çıktıktan sonra
ba¸ska bir tamkare daha olamaz ve 1601’inci terim 1649
olur.