Page 79 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
78 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

1 2 3 119 54 x
; ; ; :::;
120 120 120 120 48
kesirlerinden kaçında sadele¸stirme yapılabilir?
kesrinin en sadele¸stirilmi¸s halinde pay ve paydanın
toplamı 51’den fazladır. x sayısı asal olmadı˘ gına göre,
hangi sayılar olabilir?

Yanıt : 119 32 = 87:

Yanıt : 49; 35; 25:

60 x
120
kesrinin en sadele¸stirilmi¸s halinde pay ve paydanın
toplamı
120’yi geçti˘ gine göre, x bile¸sik sayısı kaçtır?

1’den 100’e kadar (1 ve 100 dahil) 3
(60 x) + 120 = 180 x > 120 veya 5’e bölünemeyen tüm tamsayıların toplamını
bulunuz.
olabilmesi için,
180 120 > x;
Tüm sayıların toplamı
yani x < 60 olmalıdır. 100 101
E˘ ger, x sayısı 2’nin katıysa, yani x = 2k ise, A = 1 + 2 + 3 + + 100 = = 5050
2
60 2k 2 (30 k) 30 k
= = ’dir. Bu sayıdan; 3 veya 5’e bölünenlerin toplamını
120 120 60 çıkarmalıyız.
olur ki, bu durumda, pay ve paydanın toplamı B = 3 + 6 + 9 + + 99
90 k olur ve 120’den küçük olur. O halde, x, 2’ye

bölünmemeli. 33 34
= 3 (1 + 2 + + 33) = 3 = 1683;
Benzer ¸sekilde, 2
60 3k 3 (20 k) 20 k
x = 3k ise, = = C = 5 + 10 + 15 + + 100
120 120 40
ve = 5 (1 + 2 + + 20) = 5 20 21 = 1050;
60 5k 5 (12 k) 12 y 2
x = 5k ise, = =
120 120 24
durumlarında da pay ve paydanın toplamı 120’den D = 15 + 30 + 45 + + 90

küçük olaca˘ gından, x sayısı 3 ve 5 ile de 6 7
= 15 (1 + 2 + + 6) = 15 = 315
bölünmemelidir. 2
2,3 ve 5 ile bölünmeyen 60’dan küçük tek bile¸sik sayı
olarak yazalım. Buna göre; istenen toplam;
49 oldu˘ gundan ve
Dahiliyet-Hariciyet prensibinden,
60 x 60 49 11
= = ve 11 + 120 > 120 S = A B C + D
120 120 120
sa˘ glandı˘ gından, istenen ko¸sulu sa˘ glayan x bile¸sik = 5050 1683 1050 + 315 = 2632
sayısı 49 bulunur. bulunur.