Page 78 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 77
A = f1; 2; 3; :::; 100; 101g kümesinin Paydası 100 olan ve 1’den küçük olan
elemanlarından kaçı 3’e bölünür ama 2 ve 5’e sadele¸semeyen kaç pozitif rasyonel sayı vardır?
bölünmez?
a
kesrinin 1’den küçük pozitif rasyonel
100
3’e bölünenlerin sayısı 33’tür. ¸Simdi sayı olması için;
bunlardan 2 ve 5’e bölünenlerin sayısını çıkaraca˘ gız.
a 2 f1; 2; :::; 99g
Yani, 2; 3 ve 5’e bölünenleri, kısaca 30’a bölünenleri
olmalıdır. Sadele¸smesini istemedi˘ gimiz için;
çıkaraca˘ gız. Bunların sayısı da
f1; 2; :::; 99g kümesinden; 100’ün asal çarpanlarını;
101 30 yani 2 veya 5 çarpanını içeren sayıları çıkarmalıyız.
Buna göre, içerme - dı¸sarma prensibi göz önüne
3
alınırsa, 1’den 100’e kadar olan sayılardan 2’nin, 5’in
2 ve 10’un katı olan sayıların sayısını bulalım. Buna
göre,
oldu˘ gundan 3 bulunur. Böylece, 33 3 = 30 tanesi 3’e
bölünür ama 2 ve 5’e bölünmez. 99 2 99 5 99 10
98 49 95 19 90 9
1 4 9
oldu˘ gundan,
A = f1; 2; 3; :::; 100; 101g kümesinin
elemanlarından kaçı 3’e bölünür ama 2 veya 5’e 99 (49 + 19 9) = 40
bölünmez? tane istenen ¸sekilde sayı vardır.

3’e bölünenlerin sayısı 33’tür. ¸Simdi
bunlardan 2 veya 5’e bölünenlerin sayısını çıkaraca˘ gız.
Bunun için 2 ve 3’e bölünenlerin sayısı ile 3 ve 5’e
bölünenlerin sayısını çıkarmalıyız. Fakat, 2,3 ve 5’e
bölünenleri iki kez çıkarttı˘ gımız için toplamalıyız.
Buna göre,
Paydası 300 olan ve 1’den küçük olan
101 6 101 15 101 30 sadele¸semeyen kaç pozitif rasyonel sayı vardır?
16 6 3
5 11 11 a kesrinin 1’den küçük pozitif rasyonel
300
oldu˘ gundan, 33 16 6 + 3 = 14 tanesi 3’e bölünür sayı olması için; a 2 f1; 2; :::; 299g olmalıdır.
ama 2 veya 5’e bölünmez. Sadele¸smesini istemedi˘ gimiz için;
f1; 2; :::; 299g
kümesinden; 300’ün çarpanlarını; yani 2; 3; 5 çarpanını
içeren sayıları çıkarmalıyız. Buna göre, içerme -
dı¸sarma prensibi göz önüne alınırsa,
299 2 299 3 299 5
- 298 149 - 297 99 - 295 59
1 2 4
A = f1; 2; 3; :::; 101g kümesinin
elemanlarından kaçı 2 veya 5’e bölünür ama 3’e 299 6 299 10 299 15 299 30
- - 19 -
bölünmez? 294 49 - 290 29 285 230 9
5 9 14 29

oldu˘ gundan,
299 (149 + 99 + 59 49 29 19 + 9) = 80

tane istenen ¸sekilde sayı vardır.
Yanıt : (50 16) + (20 6) (10 3) = 41.