Page 80 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 79
1’den 30’a kadar (1 ve 30 dahil) 2; 3 veya Kimya, matematik , Fizik derslerinin en az
birinden geçenlerin bulundu˘ gu 50 ki¸silik bir sınıfta
5’e bölünemeyen tüm tamsayıların toplamını bulunuz.
Kimyadan geçenler Fizikten kalmı¸stır. Sadece
matematikten geçenler Kimyadan geçenlerin yarısı,
Fizikten geçenlerin 3 katıdır. Sınıfta Matematik ve
Fizikten geçen olmadı˘ gına göre Fizikten geçen kaç
ki¸si vardır ?

Yanıt : 465 (240 + 165 + 105)+(90 + 45 + 30) 30 =
90:
Kimya Matematik
3x
6x
0 0
0
A = {1,2,3,...,999,1000} kümesinin en x
az kaç elemanını atmalıyız ki, herhangi ikisinin Fizik
çarpımı bu kümede olmasın?
Kimyadan geçenler Fizikten kaldı˘ gına göre ve
En az eleman atmak için ilk ba¸staki Matematik ve Fizikten geçen olmadı˘ gına göre, Fizik ve
elemanlardan atmalıyız. Kimya ile Fizik ve Matematik kümelerinin kesi¸simi
2
32 = 1024 bo¸s kümedir. Yani sadece Fizik’ten geçenler vardır.
Bunların sayısına x diyelim. Bu durumda, sadece
oldu˘ gundan, e˘ ger ilk 31 elemanı atarsak, geri kalanların
matematikten geçenler Fizikten geçenlerin 3 katı
iki¸serli çarpımı daima 1000’den büyük olacaktır. 30
oldu˘ gundan, 3x olacaktır. Sadece matematikten
eleman silersek, 31 32 = 992 oldu˘ gundan, kümenin
içinde kalır ve ko¸sul sa˘ glanmaz. Yanıt 31. geçenler Kimyadan geçenlerin yarısı oldu˘ gundan,
Kimya’dan geçenlerin sayısı da 6x olur. Böylece, sınıf
mevcudu
x + 3x + 6x = 10x = 50
olacaktır. Buradan x = 5 bulunur.

Bir sınıfta gözlüklü ö˘ grencilerin ve kız
ö˘ grencilerin sayılarının toplamı 27’dir. Gözlüksüz
ö˘ grencilerin ve erkek ö˘ grencilerin sayılarının
toplamı ise 33’tür. Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
Bir okulda Matematik; Fen Bilgisi ve
Sosyal Bilgiler derslerinin her birini 50 ö˘ grenci
seviyor. 71 ö˘ grenci bu derslerden sadece birini
Erkekler Kızlar
severken; 35 ö˘ grenci tam olarak ikisini seviyor. Üç
Gözlüklü dersin hepsini birden seven ö˘ grenci sayısı kaçtır?
c a b
d (U ˙ IMO - 2001)
Gözlüksüz.

Yukarıdaki ¸semayı çizelim. Soruda verilenlere göre,
gözlüklü ve kız ö˘ grencilerin sayıları toplamı 27 ise,
(a + b) + (b + d) = 27;
Gözlüksüz ö˘ grencilerin ve erkek ö˘ grencilerin
sayılarının toplamı ise 33 ise,
(c + d) + (a + c) = 33
olur. Bu iki e¸sitli˘ gi taraf tarafa toplarsak,
2a + 2b + 2c + 2d = 27 + 33 = 60
oldu˘ gundan, a + b + c + d = 30 bulunur. O halde, sınıf Yanıt : 3.
mevcudu 30’dur.