Page 81 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
80 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Bölme ve Bölünebilme
Bir okulda ö˘ grencilere 1’den ba¸slayarak
sırayla numara verilmi¸stir. Bu okuldan 150 kız ö˘ grenci
ayrılınca; kalanlar arasında kız ö˘ grencilerin erkek
ö˘ grencilere oranı 1/2 haline gelir. Bu sefer de 450 F F

erkek ö˘ grenci ayrılınca kalan ö˘ grenciler arasında
A;B; C ve K birer do˘ gal sayı olmak üzere,
erkek ö˘ grenci - kız ö˘ grenci oranı 1/5 olur. Okulun
ba¸slangıçtaki ö˘ grencileri arasında numarası ne 3 ne de A B
5’e bölünen kaç ö˘ grenci vardır? (U ˙ IMO - 1998) C
K

bölme i¸sleminde, A’ya bölünen, B’ye bölen, C’ye
bölüm ve K’ye de kalan denir.
Bölünen = Bölen Bölüm + Kalan
yani
Yanıt : Ö˘ grenci sayısının 900 oldu˘ gu bulunabilir. 3 ve 5 ile
bölünmeyenlerin sayısı da 480’dir. A = B C + K
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Kalan, daima bölenden küçüktür. Yani,
K < B’dir.

¸ Sekildeki bölme i¸slemine göre, A sayısı en
fazla kaç olabilir?
A 37

F Ayrık Kümelerin Birle¸simi F B
2
B
A 1 ; A 2 ; :::; A n ayrık n küme ise;
s (A 1 [ A 2 [ [ A n ) = s (A 1 )+s (A 2 )+ +s (A n )
Kalan, bölenden küçük olmalı. Buna göre,
¸ seklinde tanımlanır.
2
B < 37
olmalıdır. En büyük A sayısını aradı˘ gımız için, B’yi en
büyük almalıyız. B en fazla 6 olabilir. Buradan,
2
2
A = 37 B + B = 37 6 + 6 = 258
bulunur.

F Birle¸sim ve Kesi¸simin De˘ gili F

A [ B kümesinin de˘ gili;
˙ Iki basamaklı AB sayısının, A sayısına
0
0
(A [ B) = A \ B 0
bölümünden elde edilen bölüm 11, kalan ise 4’tür.
dir. A \ B kümesinin de˘ gili de;
Buna göre, AB sayısı kaç farklı sayı olabilir?
0
0
(A \ B) = A [ B 0
AB = 11 A + 4 e¸sitli˘ ginde çözümleme
dir. Bu e¸sitlik ifadeye çevrilirse, "ve" ba˘ glacı "veya"
yaparsak,
ba˘ glacına; "veya" ba˘ glacı da "ve" ba˘ glacına dönü¸sür.
Örne˘ gin; "2 veya 3’e bölünmeyen sayıların olu¸stur- 10A + B = 11A + 4 ise B = A + 4
du˘ gu küme"nin de˘ gili, "2 ve 3’e bölünen sayıların elde edilir. Di˘ ger yandan, bölen sayı, yani A sayısı,
küme"sidir.) kalandan büyük olmalıdır. Buna göre,
A = 5 ) B = 9 ve AB = 59
olabilir. Ba¸ska, AB sayısı bulunamaz.