Page 82 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 81
˙ Iki basamaklı AB sayısının, A sayısına Bir n do˘ gal sayısı 24’e bölündü˘ günde
kalan 23 oluyor. Aynı sayı 25’e bölündü˘ günde ise
bölümünden elde edilen bölüm 12, kalan ise 2’dir.
Buna göre, AB sayısı kaçtır? kalan yine 23’tür. Bu n sayısı 20’ye bölününce
kalan ne olur?

n sayısı; hem 24; hem de 25’e
bölündü˘ günde kalan 23 ise; n 23 sayısı hem 24 hem
de 25’e tam bölünür. O halde; m 2 Z için,
n 23 = 24 25 m
Yanıt : 38. yazabiliriz. Böylece;
n = 24 25 m+23 = 6 4 5 5m+23 = 20 30m+20+3
oldu˘ gundan, n sayısının 20’ye bölümünden kalan;
Bir sayı 7’ye bölündü˘ günde, n bir do˘ gal
K = 3 elde edilir.
sayı olmak üzere, bölüm n + 3; kalan n 2
v
bulunuyor. Bu sayı en fazla kaç olabilir?
Bir n do˘ gal sayısı 48’e bölündü˘ günde
Bölünen sayı A ise, kalan 47 oluyor. Aynı sayı 49’a bölündü˘ günde ise
A = 7 (n + 3) + (n 2) kalan yine 47’dir. Bu n sayısı 42’ye bölününce kalan
ne olur? (UMO - 1995)
olur. Di˘ ger yandan, kalan, bölümden küçük olması
gerekti˘ ginden, n 2 < 7 olmalıdır. Buradan, n < 9
olur. O halde, n en büyük 8 alınabilir. Bu durumda,
A = 7 (8 + 3) + 6 = 83
elde edilir.

Yanıt : 5.
275 ve 292 sayılarının ikisini de bir n
sayısına böldü˘ gümüzde k kalanını elde ediyoruz.
Buna göre, n k çarpımı kaçtır?

275 ve 292 sayılarının ikisinin de n pozitif
tam sayısına bölümünden kalan k ise, B; C 2 Z +
˙
Iki basamaklı bir sayının rakamları
olmak üzere,
toplamına bölümünden kalan en çok kaç olabilir?
275 = n B + k ve 392 = n C + k (U ˙ IMO - 2003)
yazılabilir. Buradan, 2
92 275 = 17 = n (C B)
olur. Bu e¸sitli˘ ge göre, n = 17 olmalıdır. Böylece, xy x + y
B
275 = 17 16 + 3

oldu˘ gundan, k = 3 bulunur. O halde, n k = 17 3 = 51 K
olur. i¸slemine göre,
10x + y = B (x + y) + K ve K < x + y
83 ve 102 sayılarının ikisinin de n pozitif dir. En büyük kalanı bulmak için, x + y’yi en
tam sayısına bölümünden kalan k pozitif tamsayısı ise, büyük seçmeye çalı¸salım. Buna göre, x ve y rakam
n’nin k’ya bölümünden kalan nedir? (U ˙ IMO - 2009) oldu˘ gundan,
i) x + y = 18 ise x = y = 9 ve K = 9 olur.
ii) x + y = 17 ise, 98 = 17 5 + 13 iken K = 13
ve 89 = 17 5 + 4 iken K = 4 olur.
iii) x + y = 16 ise, 88 = 16 5 + 8 iken K = 8;
97 = 16 6 + 1 iken K = 1, 79 = 16 4 + 15 iken
K = 15 olur.
Bundan sonraki tüm kalanlar 15’ten küçük olaca˘ gından
Yanıt : 5.
en büyük kalan 15 bulunur.