Page 83 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
82 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Bölmenin Gösterimleri F F Aynı Bölenli ve Aynı Kalanlı Sayılarda Fark F

Kalan sıfır olursa, A sayısı B’ye tam bölünür denir. Herhangi iki sayının bir d sayısıyla bölümünden kalan
Yani, B 6= 0 ve A;B; C tamsayılar olmak üzere e¸sitse bu iki sayının farkı da d sayısına tam bölünür.
A = B C Örne˘ gin,
101 ve 94 sayılarının 7’ye bölümünden kalan 3’tür.
¸ seklinde yazılabiliyorsa; B sayısı A sayısını böler veya
Farkları ise 7’dir ve 7’ye bölünür.
A sayısı B sayısının C katıdır denir. B j A ile göster-
ilir. E˘ ger; B sayısı A sayısını tam bölmüyorsa; B - A
¸ seklinde gösterilir. Bu gösterimleri kullanmak ço˘ gu za-
man bize zaman sa˘ glayacaktır. Örne˘ gin,
11 j 44 (11, 44’ü böler); 5 - 17 (5, 17’yi tam bölmez)
gibi.

3118; 2007 ve 1300 sayılarının her birinin
birden büyük bir d sayısına bölümünden kalan r
olsun. Buna göre; d r sayısı kaçtır?
Her biri bir 1’den büyük d pozitif
˙
tamsayısı ile bölünen ve toplamları 111 olan 11 Farkları d’ye tam bölünmeli. Iki¸serli
pozitif tamsayı veriliyor. d sayısı kaç olabilir? farkları,
3118 1300 = 1818;
d ile bölünen 11 tamsayı da 1 ; da 2 ; :::; da 11
3118 2700 = 1111;
olsun. Bunların toplamı
2007 1300 = 707
da 1 + da 2 + + da 11 = 111
oldu˘ gundan, d sayısı,
olarak verilmi¸s. d parantezine alalım.
d (a 1 + a 2 + + a 11 ) = 3 37 1818 = 18 101; 1111 = 11 101 ve 707 = 7 101
sayılarını bölmelidir. O halde, d = 101 bulunur.
oldu˘ gundan, d sayısı 3 olabilir. 37 olamaz, çünkü
1300’ü 7’ye bölünce kalan r = 88 olaca˘ gından,
a 1 + a 2 + + a 11 11
d r = 13
olmalıdır. Buna göre, d = 3 ise, 9 tane 3 ve 2 tane
42 sayısı istenen ko¸sulu sa˘ glar. d’nin pozitif ve 1’den olur.
büyük ¸sartları olmasaydı, d; 1; 1 ve 3 de˘ gerleri de
olabilirdi.

1071; 1453 ve 1835 sayılarının her
d tamsayısının kaç farklı de˘ geri için; her birinin birden büyük bir d sayısına bölümünden kalan
biri d ile bölünen ve toplamları 999 olan 49 pozitif r olsun. Buna göre; d r sayısı kaçtır?
tamsayı bulunabilir? (UMO - 2006)

Yanıt : 6’dır. d = 1 ve d = 1 için; 48 tane 1 ve 951;
d = 3 ve d = 3 için; 48 tane 3 ve 855; d = 9 ve d = 9
için de; 48 tane 9 ve 567 alınabilir. Yanıt : d r = 191 116 = 75.