Page 84 - 8_sf_Dahimatik
P. 84

˙
                                            ˙
                                                                    ˙
                                   DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım                   83
                    1528; 1433 ve 1300 sayılarının her          3n  5 sayısı 7n   2 sayısını bölecek ¸sekilde
                                                        kaç tane n tamsayısı bulunabilir?
          birinin birden büyük bir d sayısına bölümünden kalan
          r olsun. Buna göre; d ve r sayılarını bulunuz.
                                                                  Az önceki notu dikkate alalım.
                                                                     3n   5 j 7n   2  ise;
                                                                 3n   5 j 3 (7n   2)   7 (3n   5)
                                                        olmalıdır. Buradan;
                                                                          3n   5 j 29
                                                        olaca˘ gından; 3n   5 sayısı,  1; 1;  29 veya 29
          Yanıt : d = 19 ve r = 8:
                                                        olmalıdır.
                                                                 3n   5 =  1 ve 3n   5 = 29
                                                        olması durumlarında n tamsayı olmaz.
                                                                3n   5 =  29 için, n =  8 ve
                                                                3n   5 = 1 içinse, n = 2
                                                        oldu˘ gundan; istenen ¸sekilde sadece 2 tamsayı oldu˘ gu
                                                        görülür.

                 Be¸s basamaklı bir sayının binler basama˘ gı
          3 olup; bu sayı 37 ve 173’e bölünüyorsa; bu sayının
          yüzler basama˘ gı kaçtır? (UMO - 2002)

                   37 173 = 6401 sayısı ile hangi a sayısını
          çarpmalıyız ki; binler basama˘ gı 3 olan 5 basamaklı
          bir sayı elde edilebilsin. 2 6401 = 12 802 oldu˘ gundan  7n + 9 sayısı 15n + 8 sayısını bölüyorsa
          dolayı, çarpımın be¸s basamaklı olabilmesi için;  n kaç olabilir?
          2   a   15 olması gerekir. Di˘ ger taraftan, 2   a   10
          için, a ile çarpıldı˘ gında binler basama˘ gı 3 olan bir
          sonuç elde edilemez. (Neden?) 11   a   15 aralıktaki
          sayıları kontrol edelim.
                  11 6401 = 70 411;
                  12 6401 = 76 812;
                  13 6401 = 83 213 sayısı ko¸sulumuza uyar.
                                                         Yanıt : 10.
          Buna göre; a = 13 olmalıdır. O halde sayımızın yüzler
          basama˘ gı 2’dir.





                                                                                        5n   17
                                                                Kaç farklı n tamsayısı için;   bir
                                                                                        3n   5

                                                        tamsayı olur? U ˙ IMO - 2007
                                                
           F Bölme Özellikleri (Do˘ grusal Toplam) F
                                                                  3n   5 j 5n   17 ise, 3n   5 j
          Bir B sayısı A sayısını bölüyorsa, B sayısı, m; n 2 Z  3 (5n   17)   5 (3n   5) =  26 olmalıdır. Buradan;
          olmak üzere,
                                                             3n   5 2 f 1; 1;  2; 2;  13; 13;  26; 26g
                  mA + nB      ve   mA   nB             olmalıdır. n tamsayı olması gerekiyor. O halde;
          sayılarını da böler. Yani,                      3n   5 =  1 ise, n =2 Z;  3n   5 = 1 ise, n = 2;
                B j A ise, B j mA   nB; m; n 2 Z          3n   5 =  2 ise, n = 1;  3n   5 = 2 ise, n =2 Z;
                                                          3n   5 =  13 ise, n =2 Z;  3n   5 = 13 ise, n = 6;
          dir. Örne˘ gin, 7 j 14 ise, 7 j m 7 n 14’dir. m; n yerine
                                                          3n   5 =  26 ise, n =  7;  3n   5 = 26 ise, n =2 Z
          de˘ gerler vererek görünüz. :
                                                        ifadelerinden; n 2 f1; 2; 6;  7g elde edilir. Yani;
                                                        sadece 4 tane n tamsayısı için (5n   17) = (3n   5) bir
                                                        tamsayıdır.
   79   80   81   82   83   84   85   86   87   88   89