Page 84 - 8_sf_Dahimatik
P. 84
˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 83
1528; 1433 ve 1300 sayılarının her 3n 5 sayısı 7n 2 sayısını bölecek ¸sekilde
kaç tane n tamsayısı bulunabilir?
birinin birden büyük bir d sayısına bölümünden kalan
r olsun. Buna göre; d ve r sayılarını bulunuz.
Az önceki notu dikkate alalım.
3n 5 j 7n 2 ise;
3n 5 j 3 (7n 2) 7 (3n 5)
olmalıdır. Buradan;
3n 5 j 29
olaca˘ gından; 3n 5 sayısı, 1; 1; 29 veya 29
Yanıt : d = 19 ve r = 8:
olmalıdır.
3n 5 = 1 ve 3n 5 = 29
olması durumlarında n tamsayı olmaz.
3n 5 = 29 için, n = 8 ve
3n 5 = 1 içinse, n = 2
oldu˘ gundan; istenen ¸sekilde sadece 2 tamsayı oldu˘ gu
görülür.
Be¸s basamaklı bir sayının binler basama˘ gı
3 olup; bu sayı 37 ve 173’e bölünüyorsa; bu sayının
yüzler basama˘ gı kaçtır? (UMO - 2002)
37 173 = 6401 sayısı ile hangi a sayısını
çarpmalıyız ki; binler basama˘ gı 3 olan 5 basamaklı
bir sayı elde edilebilsin. 2 6401 = 12 802 oldu˘ gundan 7n + 9 sayısı 15n + 8 sayısını bölüyorsa
dolayı, çarpımın be¸s basamaklı olabilmesi için; n kaç olabilir?
2 a 15 olması gerekir. Di˘ ger taraftan, 2 a 10
için, a ile çarpıldı˘ gında binler basama˘ gı 3 olan bir
sonuç elde edilemez. (Neden?) 11 a 15 aralıktaki
sayıları kontrol edelim.
11 6401 = 70 411;
12 6401 = 76 812;
13 6401 = 83 213 sayısı ko¸sulumuza uyar.
Yanıt : 10.
Buna göre; a = 13 olmalıdır. O halde sayımızın yüzler
basama˘ gı 2’dir.
5n 17
Kaç farklı n tamsayısı için; bir
3n 5
tamsayı olur? U ˙ IMO - 2007
F Bölme Özellikleri (Do˘ grusal Toplam) F
3n 5 j 5n 17 ise, 3n 5 j
Bir B sayısı A sayısını bölüyorsa, B sayısı, m; n 2 Z 3 (5n 17) 5 (3n 5) = 26 olmalıdır. Buradan;
olmak üzere,
3n 5 2 f 1; 1; 2; 2; 13; 13; 26; 26g
mA + nB ve mA nB olmalıdır. n tamsayı olması gerekiyor. O halde;
sayılarını da böler. Yani, 3n 5 = 1 ise, n =2 Z; 3n 5 = 1 ise, n = 2;
B j A ise, B j mA nB; m; n 2 Z 3n 5 = 2 ise, n = 1; 3n 5 = 2 ise, n =2 Z;
3n 5 = 13 ise, n =2 Z; 3n 5 = 13 ise, n = 6;
dir. Örne˘ gin, 7 j 14 ise, 7 j m 7 n 14’dir. m; n yerine
3n 5 = 26 ise, n = 7; 3n 5 = 26 ise, n =2 Z
de˘ gerler vererek görünüz. :
ifadelerinden; n 2 f1; 2; 6; 7g elde edilir. Yani;
sadece 4 tane n tamsayısı için (5n 17) = (3n 5) bir
tamsayıdır.