Page 85 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
84 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
3
Kaç n tamsayısı için; n + 4 sayısı 3n 5 sayısı hem 11n 1 sayısını, hem de

2
n n + 1 sayısı ile bölünür? U ˙ IMO - 2007 7n 3 sayısını böldü˘ güne göre, n tamsayısı hangi
de˘ gerleri alabilir?
3n 5; hem 11n 1 ve hem de
2 3
n n + 1 j n + 4 7n 3 sayılarını bölüyorsa, bunların tamsayı katlarının
ise, farkını da böler. Tamsayı katlarını, n sayısı yok
2 3 2 2 olacak ¸sekilde seçelim. Yani, 7n 3’nin 11 katını,
n n + 1 j n + 4 n n n + 1 = n n + 4
11n 1’in de 7 katını alalım. Buna göre, 3n 5 sayısı,
2 2
olmalıdır. Yani, n n + 1 sayısı, n n + 4 7 (11n 1) 11 (7n 3) = 26 sayısını da bölmelidir.
sayısını bölmelidir. Buradan, 3n 5 sayısı 1; 2; 13; 26; 1; 2; 13; 26
2 2
n n + 1 j n n + 4 olabilir.
3n 5 = 1 ise n = 2; (Kontrol edilirse sa˘ glar)
ise,
3n 5 = 2 ise n tamsayı olmaz.

2 2 2
n n + 1 j n n + 4 n n + 1 = 3 3n 5 = 13 ise n = 6; (Kontrol edilirse sa˘ glar)
2
olmalıdır. Yani, n n + 1 sayısı 3’ü bölmelidir. 3n 5 = 26 ise, n tamsayı olmaz.
2
Fakat, n 3 ve n 2 için, n n + 1 > 3 3n 5 = 1 ise n tamsayı olmaz.
olaca˘ gından, n sayısı 2’den büyük ve 3’den küçük 3n 5 = 2 ise n = 1, (Kontrol edilirse sa˘ glar.)
olmalıdır. Buna göre, 3n 5 = 13 ise n tamsayı olmaz.
2
n = 1 ise, n n + 1 = 3; 3n 5 = 26, ise n = 7, (Kontrol edilirse
2
n = 0 ise, n n + 1 = 1; sa˘ glar).
2
n = 1 ise, n n + 1 = 1; Sonuç olarak, n = 2, n = 6; n = 7 ve n = 1 için,
2
n = 2 ise, n n + 1 = 3; 3n 5 sayısı hem 7n 2 sayısını, hem de 11n 5
3
olaca˘ gından, 1; 0; 1; 2 de˘ gerleri için, n + 4 sayısı sayısını böler.
2
n n + 1 sayısı ile bölünür. Not : Burada bulunan de˘ gerler mutlaka kontrol
edilmelidir. A¸sa˘ gıdaki alı¸stırmada bunu daha net
görebilirsiniz.
n’nin kaç de˘ gi¸sik tamsayı de˘ geri için
n 2
tamsayı olur? (U ˙ IMO - 1997)
n + 4

2n 5 sayısı, hem 5n 1 sayısını, hem
de 7n 3 sayısını böldü˘ güne göre, n tamsayısı hangi
de˘ gerleri alabilir?
Yanıt : 10.

F Bölme Özellikleri (Do˘ grusal Toplam 2) F

Bir B tamsayısı; A ve C tamsayılarını bölüyor ise; bun-
ların tamsayı katlarının toplamlarını da böler. Yani, Yanıt : n = 3 ve n = 2 için sa˘ glanır.
B j A ve B j C ise; m; n 2 Z için; B j mA+nC
olur. Örne˘ gin, 3 j 6; 3 j 9 oldu˘ gundan,
3 j 6m + 9n

yazılabilir. F Bir Sayının Kuvveti ve Bölme F
Bunun tersi do˘ gru de˘ gildir. Yani, B j mA + nC olması
demek, B j A ve B j C oldu˘ gu anlamına gelmez. Bir sayının bir kuvveti, bir m asal sayısına bölünüyorsa,
Örne˘ gin, 3 j 2 4 + 5; fakat 3 - 4; 3 - 5: kendisi de m’ye tam bölünür.