Page 86 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 85
(n + 1001) 1001 sayısı 101’e tam bölünecek Bölünebilme Kuralları
¸ sekildeki 100’den büyük en küçük n tamsayısı
kaçtır?
F 2 ile, 3 ile Bölünebilme F

n + 1001 sayısı 101’e tam bölünmelidir.
Yukarıdaki özelliklerden F 2 ile bölünebilme : Sayı çift ise 2 ile bölünür.
F 3 ile bölünebilme : Sayının rakamları toplamı
(n + 1001) 10 101 = n 9
3’ün katı ise 3’e bölünür. Bir sayının 3’e bölümün-
sayısı da 101’e tam bölünmelidir. 100’den büyük en den kalan, bu sayının rakamları toplamına bölümünden
küçük n tamsayısını aradı˘ gımız için n 9 = 101 kalana e¸sittir.
e¸sitli˘ ginden, n = 110 alabiliriz.
Örne˘ gin, 2345 sayısının 9’a bölümünden kalan,
2 + 3 + 4 + 5 = 14
sayısının 3’e bölümünden kalana e¸sittir. Yani 2’dir.
7777777 sayısının 3 ile bölümünden kalan
7 5 = 35
in 3 ile bölümünden kalana e¸sittir. 35’in 3 ile bölümün-
2
n + 18n 22 ifadesi 103’e tam bölünecek den kalan ise 2’dir.
¸ sekildeki 1000’den küçük en büyük n tamsayısı
kaçtır?

2
n + 18n 22 sayısı 103’e bölünüyorsa;
103 eklersek de bölünmelidir. 103 eklenirse;
2
n + 18n + 81 = (n + 9) 2
olur. Bu ifadenin 103’e bölünebilmesi için;
n + 9 = 103k
1’den 29’a kadar sayılar yanyana
olması gerekti˘ ginden; n = 103k 9 ¸seklinde olmalıdır.
yazılarak elde edilen sayının 3’e bölümünden kalan
1000’den küçük n = 103k 9 formundaki en büyük
nedir?
sayı k = 9 için
n = 103 9 9 = 918
12345...272829 sayısının rakamları
olur. toplamını bulalım. Tek rakamlı olanların toplamı
9 10
1 + 2 + 3 + + 9 = = 45
2
˙
’dir. Iki rakamlı olanların toplamı ise, 1 ile ba¸slayan 10
sayı ve 2 ile ba¸slayan 10 sayı oldu˘ gundan,
10 1+(1+2+ +9) +10 2+(1+2+ +9)
= 30 + 90 = 120
1000’den küçük kaç n do˘ gal sayısı için

2
n + 8n 85 ifadesi 101’e bölünür? U ˙ IMO - 2008 olur. O halde,
12345:::272829
Yine bir tamkareli ifade olacak ¸sekilde
sayısının rakamları toplamı
düzenleme yapalım.
2
2
2
n + 8n 85 = n + 8n + 16 101 = (n + 4) 101 120 + 45 = 165
ifadesinin 101’e bölünebilmesi için; bulunur. 165’in 3’e bölümünden kalan 0 oldu˘ gundan,
verilen sayının 3’e bölümünden kalan 0 bulunur.
n + 4 = 101k
Bu soruda,
formunda olmalıdır. Yani, n = 101k 4 için sayımız
101’e bölünebilir. 1000’den küçük n = 101k 4 1 + 2 + + 28 + 29 = 435
formunda kaç sayı oldu˘ gunu bulalım. k = 1; 2; 3; :::; 9 oldu˘ gu hesaplanıp, 435’in 3’e bölümünden kalan
için n; 1000’den küçük olacaktır. Yani 9 tane do˘ gal hesaplanarak, verilen sayının 3’e bölümünden kalanın
sayı için 101’e bölünür 0 oldu˘ gu görülebilirdi