Page 87 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
86 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
20 tane 5 rakamından olu¸san 5555:::555 A sayısının rakamları toplamı 29, B
sayısının rakamları toplamı ise 17’dir. Buna göre,
sayısının 3’e bölümünden kalan kaçtır?
A B
çarpımının 400400 olamayaca˘ gını gösteriniz.

A sayısının 3’e bölümünden kalan 2 ve B
sayısının 3’e bölümünden kalan 2’dir. O halde, A B
sayısının 3’e bölümünden kalan 1 olmalıdır. Fakat,
Yanıt : 1: 400400 sayısının 3’e bölümünde kalan 2 oldu˘ gundan,
A B çarpımı 400400 olamaz.
1’den 100’e kadar sayılar yanyana
yazılarak elde edilen sayının 3’e bölümünden kalan
nedir?

n sayısı, 3 basamaklı m sayısının
rakamlarının yerleri de˘ gi¸stirilerek ekde edilebiliyor.
m n = 114678
Yanıt : 1:
oldu˘ guna göre n sayısının onlar basama˘ gındaki
rakam rakam kaçtır?

n ve m üç basamaklı oldu˘ gundan, ve
sayının çarpımı 3’e bölündü˘ günden, hem m hem de n;
3’e bölünmelidir.
F Çarpımın 3 ile Bölümü F
2
n m = 114 678 = 2 3 23 277
a b çarpımının 3’e bölümünden kalan, a ve b sayılarının
e¸sitli˘ gine göre,
3’e bölümünden kalanlarının çarpımının 3’e bölümün-
den kalanına e¸sittir. n = 3 277 = 831 veya n = 3 2 23 = 138
Örne˘ gin, olabilir. O halde, onlar basama˘ gındaki rakam 3 olur.
23 17
çarpımının 3’e bölümünden kalan 2 2 = 4’ün 3’e
bölümünden kalana e¸sittir, yani 1’dir.

n 2 Z için, (2n 1) (2n + 1) çarpımının
3’e bölümünden kalan kaç olabilir? Buna göre, bu
çarpımın sonucunda elde edilen sayının rakamları
toplamı 100 olabilir mi?

(2n 1) (2n + 1) çarpımında,
n = 1 ise, kalan 0,
13579 24680 sayısının 3’e bölümünden
n = 2 ise kalan 0,
kalan kaçtır?
n = 3 ise kalan 2
olur. Yani, kalan ya 0 ya da 2’dir. 1 olamaz. O halde,
(2n 1) (2n + 1) çarpımının sonucunda elde edilen
sayının rakamları toplamının da 3’e bölümünden kalan
1 olamaz. 100’ün rakamları toplamı 1 oldu˘ gundan,
rakamları toplamı 100 olamaz.

Yanıt : 2: