Page 88 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 87
n(2n 1) sayısının basamakları p; p + 10 ve p + 14 sayıları asal olacak
¸ sekilde kaç p sayısı vardır?
toplamının 2000 olmasını sa˘ glayan kaç n pozitif
tamsayısı vardır? (U ˙ IMO - 2001)
Bu sayıların 3’e bölümünden kalanlar
sırasıyla,
p’nin, p + 1’in ve p + 2’nin
3’e bölümünden kalanlara e¸sittir ve bu kalanlar
birbirinden farklıdır. Bu durumda, bu sayılardan biri
3’e bölünmelidir. Sayılar asal oldu˘ gundan, en küçük
Yanıt : 0: (Bir önceki örnekteki yöntemi uygulayınız.) olan p sayısının 3 olması gerekir. Böylece; di˘ ger sayılar
13 ve 17 olur.

F 4 ile bölünebilme F

Sayının son iki rakamı 4’e bölünürse; sayı 4’e bölünür.
1; 2; 3; :::; 100 sayılarından hiçbir sayı
Örne˘ gin,
di˘ gerinin üç katı olmayacak ¸sekilde bir grup sayı
seçilecektir. Bu seçilecek sayı grubunun maksimum 138924
eleman sayısı kaçtır?
sayısı 4’e bölünür. Çünkü son iki rakam 24, 4’e bölünür.
Öncelikle, 1; 2; 3; :::; 100 sayılarından
3’ün katı olanları atalım. Bunlar, f3; 6; 9; :::; 99g’dur
ve (99 3) =3 + 1 = 33 tanedir. Böylece,
f1; 2; 4; 5; 7; 8; :::; 98; 100g
kümesindeki 100 33 = 67 sayının hiçbiri bir di˘ gerinin
3 katı olamaz. ¸Simdi, bu kümedeki elemanların 3 4’e bölünebilen, rakamları birbirinden
katını ekleyemesek de, 9 katını ekleyebilece˘ giz. Fakat farklı asal sayılar olan dört basamaklı en küçük
yeni eklenen elemanların da, birbirinin 3 katı olanlarını sayı kaçtır?
almamalıyız. Bu durumda, 9’un katı olanlardan sadece
27 ve 54’ü almayarak, Rakamları asal ise, rakamları 2,3,5,7
olabilir. Sayının dört ile bölünebilmesi için son iki
f9; 18; 36; 45; 63; 72; 81; 90; 99g
basama˘ gı 32, 52 veya 72 olmalıdır. Fakat, en küçük
kümesindeki elemanları da ilave edebiliriz. Böylece,
dört basamaklı sayıyı aradı˘ gımız için, son iki rakamı
9 eleman daha bulduk. O halde, 67 + 9 = 76 sayısı,
72 olmalıdır. Buna göre en küçük dört basamaklı sayı
istenen ¸sekildeki kümenin maksimum eleman sayısıdır.
3572 bulunur.

1; 2; 3; :::; 100 sayılarından hiçbir sayı
di˘ gerinin dört katı olmayacak ¸sekilde bir grup sayı
seçilecektir. Bu seçilecek sayı grubunun maksimum
Hiçbiri bir di˘ gerinin üç katı olmayan,
eleman sayısı kaçtır?
51’den küçük en fazla kaç pozitif tamsayı vardır?
(U ˙ IMO - 2003)

Yanıt : 80. f1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; :::; 95; 97; 98; 99g [
f16; 32; 48; 80; 96g :
Yanıt : 38.