Page 90 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 89
Dört basamaklı, 8’e bölünen, rakamları x; y; z ve m rakam olmak üzere,
birbirinden farklı en büyük sayı ile en küçük sayının xyz5 621 = 212m715
farkını bulunuz.
çarpma i¸slemi sa˘ glanıyorsa; x + y + z + m =?
˙ Ikinci çarpanın rakamları toplamı 9’un
katı oldu˘ gundan 9’a tam bölünür; dolayısıyla çarpım da
bölünmelidir. Buna göre; m = 0 olur.
2120715
= 3415
621
Yanıt : 9872 1024 = 8848 oldu˘ gundan
x = 3; y = 4; z = 1
olur. Böylece; x + y + z + m = 8 olur.

Ö˘ gretmen; tahtaya 8 pozitif tamsayı
yazıyor ve Betül bu sayılardan ikisinin 2’ye, Yan yana yazılmı¸s 123456789
üçünün 3’e, dördünün 4’e, be¸sinin 5’e, altısının rakamlarından bazılarının arasına + i¸sareti
6’ya, yedisinin 7’ye, ve sekizinin 8’e bölündü˘ günü koyularak olu¸sturulan bir toplam 144, 153,
söylüyor. Betül en az kaç hata yapmı¸stır? 189, 375, 486 sayılarından hangisi olamaz?

U ˙ IMO - 2008 U ˙ IMO - 2008

5’e ve 7’ye bölünebilme birbirinden 123456789 sayısı 9’a bölündü˘ günden
ba˘ gımsızdır ve bu iki durumu sa˘ glayacak ¸sekilde dolayı; toplama i¸saretini nereye koyarsak koyalım;
sayılar seçmek mümkündür. elde edilen toplam da 9’a bölünecektir. Bu duruma
Di˘ ger taraftan, 2’ye, 4’e ve 8’e bölünme verilerinin uymayan tek sayı 375 sayısıdır.
tamamı 2’ye bölünebilmeyi içinde bulundurdu˘ gundan,
birbiriyle ili¸skilidir ve sadece biri do˘ gru olabilir.
Benzer ¸sekilde, 3’e ve 6’ya bölünebilme verileri de 3’e
bölünebilmeyi içinde bulundurdu˘ gundan sadece biri
do˘ gru olabilir. Yani, hem üç tane 3’e bölünen, hem
de altı tane 6’ya bölünen aynı anda olamaz. O halde,
Betül en az 3 hata yapmı¸stır.
m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere,
123 (3m + 43n) sayısı 9’a bölünecek ¸sekildeki en
küçük n sayısı kaçtır?

123’ün 9’a bölümünden kalan
1 + 2 + 3 = 6’dır. 43’ün de 9’a bölümünden kalan ise
4 + 3 = 7’dir. Buna göre, 123 (3m + 43n) sayısının

F 9 ile bölünebilme F 9’a bölümünden kalan,

6 (3m + 7n) = 18m + 42n
Sayının rakamları toplamı 9’a bölünüyorsa; sayı 9’a
sayısının 9’a bölümünden kalana e¸sittir. 18’in, 9’a
bölünür. Bir sayının 9’a bölümünden kalan, rakamları
bölümünden kalan 0 ve 42’nin 9’a bölümünden kalan 6
toplamının 9’a bölümünden kalana e¸sittir.
oldu˘ gundan,
Örne˘ gin, 1357 sayısının 9’a bölümünden kalan,
1 + 3 + 5 + 7 = 16 123 (3m + 43n)
sayısının 9’a bölümünden kalana e¸sittir. Yani 7’dir. sayısının 9’a bölümünden kalan 6n olabilir. Bu kalanın
0 olması için, 6n = 18 olmalıdır. Yani, n sayısı en
küçük 3 olabilir.