Page 91 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
90 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

Basamaklarından birini 4; birini 6; di˘ ger F 10 ile bölünebilme F
ikisini de istenilen herhangi iki a ve b rakamlarının
olu¸sturdu˘ gu ve de˘ geri 46(10a + b)’ye e¸sit olan kaç Sayının son rakamı 0 ise, sayı 10’a bölünür.

tane dört basamaklı sayı vardır? U ˙ IMO - 2004

Dört basamaklı sayının bir rakamı 4; bir
rakamı da 6 oldu˘ gundan; rakamları toplamı a + b + 10
olacaktır. Buna göre; bu sayının 9’a bölümünden kalan
a + b + 1 olmalıdır. Fakat;
46(10a + b)
çarpımının 9’a bölümünden kalan; a + b’dir. F 11 ile bölünebilme F
Dolayısıyla; kalanlar farklı olaca˘ gından de˘ geri
46(10a + b)’ye e¸sit olan dört basamaklı sayı yoktur.
Sayının tek numaralı basamaktaki sayıların toplamı ile
çift numaralı basamaklardaki sayıların toplamının farkı;
11’in bir katı ise; sayı 11’e bölünür.
Örne˘ gin, 1 088378269 sayısının 11’e bölündü˘ günü
E˘ ger n pozitif tamsayısına bölünen her
görelim.
tamsayı; basamaklarının yerleri nasıl de˘ gi¸stirilirse
1 0 8 8 3 7 8 2 6 9
de˘ gi¸stirilsin yine n’ye bölünüyorsa; n’ye "iyi" sayı
+ + + + +
diyelim. Kaç iyi sayı vardır? (UMO - 2008)
¸ seklinde etiketleyelim. "+" etiketli olanların toplamı
n = 1 sayısının iyi sayı oldu˘ gu (1 + 8 + 3 + 8 + 6) = 26;
açıktır. Yine, n = 3 için de, 3’e bölünen bir sayı,
" " etiketli olanların toplamı da
basamaklarının yerleri nasıl de˘ gi¸stirilirse de˘ gi¸ssin
rakamları toplamı de˘ gi¸smeyece˘ ginden 3’e bölünecektir. (0 + 8 + 7 + 2 + 9) = 26
n = 9 için de benzer durum vardır. O halde, n = 3 ve ’dır. Farkları 0’dır ve 11’e bölünür. O halde sayımız
n = 9 sayıları da birer iyi sayıdır. Bu sayılardan ba¸ska 11’e bölünür.
iyi sayı yoktur. Çünkü, di˘ ger sayıların bölünebilme
kuralları daima son rakama ba˘ glıdır. Son rakam
de˘ gi¸since, bölünebilme ortadan kalkacaktır. Örne˘ gin;
n = 5 için, 5 j 15 fakat 5 - 51 gibi.

Her bir rakamına bölünebilen tüm iki
basamaklı sayıların toplamını hesaplayınız. (AIME
2001) 1234a56b sayısı 11’e bölünecek ¸sekilde
rakamları birbirinden farklı kaç sayı bulunabilir?
Sayının rakamları arasında 0 olamaz. Her
bir rakamına bölünecek ¸sekilde, Sayının rakamlarını +; ¸seklinde
Rakamlarından biri 1 olan sayılar : 11, 12 ve 15, etiketleyelim.
Rakamlarından biri 2 olan sayılar : 22, 24, 1 2 3 4 a 5 6 b
Rakamlarından biri 3 olan sayılar : 33, 36,
+ + + +
Rakamlarından biri 4 olan sayılar : 44, 48,
Buna göre,
Rakamlarından biri 5 olan sayılar : 55,
Rakamlarından biri 6 olan sayılar : 66, (1 + 3 + a + 6) (2 + 4 + 5 + b) = a b 1
Rakamlarından biri 7 olan sayılar : 77, de˘ geri 11’in katı olmalıdır. Buna göre, a ve b rakam
Rakamlarından biri 8 olan sayılar : 88, oldu˘ gundan,
Rakamlarından biri 9 olan sayılar : 99
a b = 1
oldu˘ gundan, toplam
olabilir. Sayının rakamları birbirinden farklı
T = 11 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
olaca˘ gından iki durum olabilir :
+12 + 15 + 24 + 36 + 48
a = 9; b = 8 veya a = 8 ve b = 7.
= 630
O halde istenen ¸sekilde sadece iki sayı vardır :
bulunur. 12349568 ve 12348567: