Page 92 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 91
101 tane
15 n’in her rakamı 0 veya 8 olacak ¸sekilde
z }| {
101; 1001; 10001; 100001; :::; 1 00:::00 1
en küçük pozitif n sayısı kaçtır? (AIME 1984)
sayılarından kaç tanesi 11’e bölünebilir?
15 n sayısı 5’e bölünece˘ ginden son rakamı
11’e bölünebilme kuralına göre; tek sayıda
0 olmalıdır. 15n sayısı 3’e bölünece˘ ginden; rakamları
0 olursa; sayı 11’e bölünemeyecektir. Yani; 11’e toplamı da 3’e bölünecektir. O halde en az üç tane 8
bölünebilmesi her sayıda çift sayıda 0 olması gerekir.
olmalıdır. Buna göre istenen ¸sekildeki en küçük sayı
Buna göre; 2; 4; 6;...; 100 sıfır olan sayıların sayısı :
8880 15 = 592
100 2
+ 1 = 50
2 olur.
tane olur.
a627b ¸seklinde verilen 5 basamaklı sayı
56’ya bölündü˘ günde 4 kalanını veriyor. Buna göre;

a + b kaçtır? U ˙ IMO - 1999
56 = 7 8 oldu˘ gundan 7 ve 8 ile
bölünebilme durumları incelenmelidir. a627b sayısının
8’e bölündü˘ günde 4 kalanını vermesi için; son
üç rakamın olu¸sturdu˘ gu sayı 8’e bölündü˘ günde 4
kalanını vermelidir. Buna göre b = 6 olmalıdır.
(276 = 34 8 + 4).
¸ Simdi; a6276 sayısının 7’ye bölündü˘ günde de
4 kalanını vermesi gerekti˘ ginden; 7’ye bölünme
kuralından;
F A B ile Bölünebilme F
(1 6 + 3 7 + 2 2) (1 6 + 3a) = 7k + 4
A ve B sayıları asal sayılar veya asal sayıların kuvveti elde edilir. Burada,
olmak üzere, bir sayının A B sayısına bölünebilmesi 25 3a = 7k + 4
için hem A; hem de B ile bölünebilmesi gerekir. e¸sitli˘ ginden; a = 0 veya a = 7 elde edilir. Sayımız 5
Örne˘ gin, bir sayının
basamaklı oldu˘ gundan
72’ye bölünebilmesi için hem 8 hem de 9’a bölün-
melidir. a = 7 ve a + b = 6 + 7 = 13
45’e bölünmesi için ise, hem 9 hem de 5’e bölünmesi elde edilir.
gerekir.

x; y 2 f0; 1; :::; 9g olmak üzere 2x57y3
sayısının 33’e bölünmesini sa˘ glayan kaç (x; y) sıralı

ikilisi vardır? U ˙ IMO - 2002
2x57y3 sayısının 33’e bölünmesi için
hem 3 hem de 11’e bölünebilmelidir. Buna göre; 3’e
bölünebilme kuralından x + y + 2 = 3k olmalıdır. O
halde; x + y sayısı; 1; 4; 7; 10; 13 veya 16 olabilir. 11’e
a679b be¸s basamaklı sayısının; 72’ye bölünebilme kuralına göre de;
bölünebilmesi için; a + b kaç olmalıdır? (KANADA (x + 7 + 3) (2 + 5 + y) = 11m
M.O 1980)
olmalıdır. Yani; x y = 11m 3 olmalıdır. Buna
göre; x y; 3 veya 8 olabilir.
a679b sayısı hem 8 hem de 9’a
x y ve x + y sayılarının her ikisinin de tek veya her
bölünebilmelidir. 8’e bölünme kuralından; son üç ikisinin de çift olaca˘ gı göz önünde bulundurularak;
basamak 8’in katı olması gerekti˘ ginden ve 99 8 = 792
x y = 3 x y = 8
oldu˘ gundan; b = 2 olmalıdır. 9’a bölünebilme kuralına x + y = 1; 7 veya 13 , x + y = 4; 10 veya 16
göre; rakamları toplamı;
denklem sistemlerinden;
a + 6 + 7 + 9 + 2 = a + 24
(x; y) 2 f(2; 5) ; (5; 8) ; (9; 1)g
sayısı 9’un katı olmalı yani; a = 3 olmalıdır. O halde;
a + b = 5 bulunur. olabilece˘ gi görülür.