Page 94 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 93
En az 100 basamaklı 143 ve 253 sayılarını istedi˘ gimiz kadar
n2013n2013n:::n2013n kullanarak; toplama; çıkarma ve çarpma i¸slemleriyle,
135740, 218009,) 780811, 6050704, 566500
sayısının 72 ile tam bölünebilmesi için en az kaç
sayılarından hangisini elde edemeyiz? (U ˙ IMO - 1997)
basamaklı olması gerekir.
72 = 8 9 oldu˘ gundan dolayı; ve 8’e bölme
kuralından n = 6 olur. Sayı en az 100 basamaklı oldu-
˘ gundan ve rakamların toplamı 9’a bölme kuralına göre
9’un bir katı olması gerekti˘ ginden,
12 22 + 6 = 270
oldu˘ gu da göz önüne alınırsa, en az 22 tane 6 olması
gerekir. O halde sayımız en az 5 22 + 1 = 111
basamaklı olmalıdır.
Yanıt : 780811 oldu˘ gu 11’e bölünebilme kuralından
En az 100 basamaklı kolayca görülebilir.
n1071n1071n:::n1071n sayısının 72 ile tam
bölünebilmesi için en az kaç basamaklı olması gerekir.

Yanıt : 131.

F Bölünebilme Özellikleri F

A ve B sayıları bir n sayısına bölünüyorsa, A ve B
sayılarının toplamı, farkı ve çarpımı ve bu üç i¸slemin
birlikte kullanılmasıyla elde edilen tüm sayılar da n
sayısına bölünür.
50 basamaklı olan bir N tamsayısının
soldan 26’ncı basama˘ gı dı¸sındaki bütün
basamaklarında 1 rakamı bulunuyor ve N sayısı
13’e tam bölünüyor ise; N’nin yazılımında soldan
26’ncı rakam nedir? (UMO - 2000)

111111 = 1001 111 = 7 11 13 111
oldu˘ gundan 6 tane 1’den olu¸san 111111 sayısı 13’e
1320 ve 1452 sayıları istenildi˘ gi kadar
tam bölünür. O halde; 6 48 tane 1 sayısı kullanılarak
kullanılarak toplama; çıkarma ve çarpma
olu¸sturulan
i¸slemleriyle
137676; 1256676; 170676 ve 1917960 N = 11:::1 1b 11:::1
| {z }
| {z }
sayılardan hangisi elde edilemez? sayısını göz önüne alalım. 1b’nin solunda 24 tane ve
sa˘ gında 24 tane 1 olsun. Sa˘ gdaki; 24 tane 1 sayısı 13’e
1320 ve 1452 sayılarının her ikisi de 11’e tam bölünecektir. Soldaki 24 tane 1 sayısı da bölünür;
bölünebildi˘ ginden; bu sayıların kendi aralarındaki fakat tüm sayının bir bütün olarak 13’e bölünebilmesi
toplama; çıkarma ve çarpma i¸slemleriyle elde edilecek için; ortada kalan 1b sayısının da; 13’e bölünebilmesi
sayı da 11’e bölünebilmelidir. 1256676 sayısı 11’e gerekir ki; bu durum sadece b = 3 iken mümkündür. O
bölünemeyece˘ ginden elde edilemez. halde; N sayısının soldan 26’ncı rakamı 3’tür.