Page 110 - og_2_olimpiyat

ii. Üçüncü Dereceden Denklemler ve Vieta Formülleri:

Örnek
2
3
32 x - 8x + 19x -12 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Denklemin rasyonel kökü muhtemelen sabit terimin (-12) çarpanlarından biri olabileceği için çar-
4. Bölüm
Çözüm
panlardan hangisinin kök olduğunu deneyebilirsin. Bu durumda x = 1 için katsayılar toplamının
0 olup denklemin sağlandığı görülüyor. Buna göre denklemin çarpanlarından biri x - 1 olmalı ve
denklem (x - 1)(x - 7x + 12) = 0 dan (x - 1)(x - 3)(x - 4) = 0 biçiminde çarpanlara ayrılmalıdır.
2
Sonuç olarak denklemin kökleri x = 1, x = 3 ve x = 4 olup çözüm kümesi Ç.K. = {1, 3, 4} dir.

Örnek
2
3
33 x + 4x - cx - c = 0 denkleminin kökleri -2, p ve q dur. Buna göre p.q kaça eşittir?
2
3
2 kökü denklemi sağlayacağı için (-2) + 4(-2) - c(-2) - c = 0 olup -8 + 16 + c = 0 dan c = -8 dir.
Çözüm
3
2
Buna göre denklem x + 4x + 8x + 8 = 0 şeklindedir ve çarpanlarına ayrılmış biçimi
2
(x + 2)(x + 2x + 4) = 0 ile diğer iki kök p ve q nun çarpımını arayabiliriz. İkinci çarpan için diskri-
minant ∆ = 2 - 4 . 4 = -12 dir. Negatif olduğu için x + 2x + 4 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. (!)
2
2
Ne yani olmayan iki kökün çarpımını mı arıyoruz? sorusu çok yerinde bir soru. Cevap: Elbette,
çünkü bize reel olmayan (şimdilik, peki o zaman ne? sorusunu cevapsız bırakıyorum) bu iki kökün
çarpımını bulmaya yeterli bilgi var.
x + 2x + 4 = 0 denkleminin kökleri olan p ve q nun çarpımı p . q = 4 tür.
2
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Peki bu örnekten hareketle acaba 3. dereceden denklemler için de köklerini bulmaya gerek kalmadan
kökler ile ilgili bilgiler elde edilebilir mi? Çalışalım bakalım olacak mı! aynı denklem için şu eşitlik yazıla-
bilir. (x - x )(x - x )(x - x ) = 0 dan düzenleme yaparak
1 2 3
x - (x + x + x )x + (x . x + x . x + x . x ) x - x . x . x = 0 elde edilir.
2
3
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
b
c
d
Orijinal hali için de x + x + x + = 0 biçiminde düzenleme yapıldığında
2
3
a a a
2
a, b, c, d ∈ ve a ≠ 0 için ax + bx + cx + d = 0 denkleminin kökleri x , x ve x olmak üzere
3
1 2 3
x + x + x = - b x . x + x . x + x . x = c x . x . x = - d
1 2 3 a 1 2 1 3 2 3 a 1 2 3 a

Denklemin kökleri ile katsayıları arasında yukarıdaki eşitlikleri bulunur. Sonuç olarak üçüncü de-
receden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerini bulmaya gerek kalmadan, kökleri ile katsayıları
arasındaki keşfettiğin bu eşitlikleri kullanabilirsin. Yaşasın!

110 ALTIN NOKTA