Page 112 - og_2_olimpiyat

Örnek
3
2
35 x + 3x + mx - m + 2 = 0 denkleminin kökleri x , x , x tür. Hangi m değeri için denklemin
1
2
3
x x x
kökleri arasında 1 + 2 + 3 =− 1 eşitliği sağlanır?
xx . xx . xx .
2 3 1 3 1 2
4. Bölüm
Denklemin katsayıları kullanılarak, kökler toplamı x + x + x = -3, köklerinin ikişerli çarpımlar
Çözüm 1 2 3
toplamı x . x + x . x + x . x = m ve kökler çarpımı x . x . x = m - 2 dir. Verilen eşitliğin sol
1 2 1 3 2 3 1 2 3
x 2 x 2 x 2
tarafı paydalar eşit olacak şekilde düzenlenir. 1 + 2 + 3 dan
..
..
xx x 3 xx x 3 xx x 3
..
2
1
2
1
1
2
1 (
2
x
x + x 2 + x 2 x + x + ) − 2.( x x +. x x +. x x .)
2
1 2 3 = 2 3 1 2 2 3 1 3 elde edilir.
xx x 3 xx . ..x 3
..
2
1
1
2
2
− ( 3 ) − 2.m
Buna göre; =− 1 olup içler dışlar çarpımı ile 9 - 2m = - m + 2 den m = 7 için eşitlik
m −2
sağlanır.
Örnek
2
2
3
36 x - 3x - 1 = 0 denkleminin kökleri, x + px + qx - 2 = 0 denkleminin de kökleri olduğuna
göre, p - q kaçtır?
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Birinci denklemden kökler çarpımının -1 ve kökler toplamının 3 olduğu görülüyor. Üçüncü kök
Çözüm
ile birlikte (ikinci denklemden) kökler çarpımı 2 olduğuna göre üçüncü kök - 2 olmalıdır. İlk iki
kökün toplamı 3 olduğu için kökler toplamı 3 - 2 = -p den p = -1 olur. Buna göre x - x + qx - 2
2
3
= 0 denkleminde -2 kökü eşitliği sağladığı için (- 2) - (-2) - 2q - 2 = 0 dan 2q = -14 ve q = -7
2
3
bulunur. Bu durumda p - q = -1 - (-7) = 6 dır.
(Bu problem için; x nin x ile ve -1 in + 2 ile çarpımı dikkate alınarak, (x - 3x - 1)(x + 2) = 0 denk-
2
2
3
leminin x + px + qx - 2 = 0 ile eşdeğer olduğu fark edilebilirdi.
2
Buna göre çarpım yapılarak x - x - 7x - 2 = 0 dan p = -1 ve q = -7 olduğu görülür. )
3
2
Örnek
4
3
2
37 x + 5x + ax + bx - 4 = 0 denkleminin kökleri x , x , x ve x olduğuna göre
2
1
3
4
x + x + x + x
1 2 3 4 kesri kaça eşittir?
xx xx 4
..
.
1
2
3
Denklemin kökler toplamı (-5) ile denklemin kökler çarpımı (-4) oranlanarak elde edilen
Çözüm
x + x + x + x 5
1 2 3 4 kesri e eşittir.
...
x xxx 4
1 2 3 4
112 ALTIN NOKTA