Page 111 - og_2_olimpiyat

Hatta aynı biçimde, n. dereceden denklemler için de genelleştirilmiş formülleri bulabilirsin.
İşte o formüller, Vieta formülleri;

a ≠ 0 ve gerçel katsayılı (i = 0, 1, 2, . . . , n ve a ∈ ) n. dereceden 4. Bölüm
i
n
a x + a x + . . . a x + a = 0 denkleminin tüm kökleri x , x , x ,..., x , x olmak üzere,
n-1
n
3
0
n-1
1
2
n-1
n
1
n
a
x + x + x + . . . + x = - n-1
2
a
3
1
n
n a
x . x + x . x + . . . + x . x = n-2
3
1
n-1
1
a
n
2
n a
x . x . x + x . x . x + . . . + x . x . x = - n-3
n-1
n
a
n-2
2
4
1
3
1
2
n
. . .
a
x .x .x . . . x = (-1) . a 0
n
2
3
n
1
n
Örnek 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
2
3
34 x - 2x + 3x + 4 = 0 denkleminin kökleri x , x ve x olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin
2
3
1
değeri kaça eşittir?
1 1 1
a) + + = ?
x 1 x 2 x 3
b) x . x . x + x . x . x + x . x . x = ?
2
2
2
2
2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
c) x + x + x = ?
2
2
2
1 2 3
Denklemin kökler toplamı x + x + x = 2, kökler çarpımı x . x . x = -4 ve köklerinin ikişerli çar-
Çözüm 1 2 3 1 2 3
pımlar toplamı x . x + x . x + x . x = 3 olur. Buna göre;
1 2 1 3 2 3
1 1 1 xx +. xx +. xx .
a) Kesirlerin paydaları eşitlenerek + + = 2 3 1 3 1 2 bulunur. Bu durumda
x x x xx x
..
1 1 1 3 1 2 3 1 2 3
+ + = − tür.
x x x 4
1 2 3
b) x . x . x + x . x . x + x . x . x = x . x . x . (x . x + x . x + x . x ) = -4 . 3 = -12 dir.
2
2
2
2
2
2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
c) x + x + x = (x + x + x ) - 2 . (x . x + x . x + x . x ) özdeşliği ile
2
2
2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
x + x + x = 2 - 2 . 3 den x + x + x = -2 dir.
2
2
2
2
2
2
2
1 2 3 1 2 3
ALTIN NOKTA 111