Page 113 - og_2_olimpiyat

Örnek
4
5
3
2
38 3x + (2m - 3)x - x + nx + m - 2 = 0 denkleminin kökler toplamı 5 olduğuna göre
kökler çarpımı kaçtır? 4. Bölüm

Denklemin kökler toplamı − 2m + 3 = 5 için - 2m + 3 = 15 den 2m = - 12 ve m = - 6 dır. Buna
Çözüm
3
göre kökler çarpımı − m + 2 den 8 tür.
3 3

Örnek 3 2
39 x - 2x - x + 1 = 0 denkleminin gerçel köklerinin küplerinin toplamı nedir?
(UMO - 2004)
A) -6 B) 2 C) 8 D) 11 E) Hiçbiri

Çözüm Köklerinin (nasıl anlaşıldığını bir kenarda tutuyorum) tümü reel olup x , x ve x olmak üzere 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
3
1
2
x + x + x = 2, x . x + x . x + x . x = -1 ve x . x . x = -1 dir.
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
Bu durumda (x + x + x ) = x + x + x + 2(x . x + x . x + x . x ) eşitliğinden
2
2
2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 = x + x + x - 2 ve x + x + x = 6 elde edilir. Her bir kök denklemi sağladığı için;
2
2
2
2
2
2
2
1 2 3 1 2 3
x 3 - 2x - x + 1 = 0
2
1 1 1
x 3 - 2x - x + 1 = 0
2
2 2 2
x 3 - 2x - x + 1 = 0 eşitlikleri yazılabilir.
2
3 3 3
Bu eşitliklerin toplamı ile x + x + x - 2(x + x + x ) - (x + x + x ) + 3 = 0 elde edilir. Buna
3
2
2
2
3
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
göre, x + x + x - 2.6 - 2 + 3 = 0 dan denklemin gerçel köklerinin küpleri toplamı
3
3
3
1 2 3
x + x + x = 11 dir.
3
3
3
1 2 3
Cevap: D
Örnek
50
40 x - 3x - 2 = 0 denkleminin kökleri x , x , x , . . . , x olmak üzere,
3
1
2
50
x + x 50 + x + . . . + x 50 toplamı kaça eşittir?
50
50
1 2 3 50
50
Her bir kök denklemi sağladığı için; x - 3x - 2 = 0
Çözüm 1 1
50
x - 3x - 2 = 0
2 2
x - 3x - 2 = 0
50
3 3
... ... ... ...
x 50 - 3x - 2 = 0 eşitlikleri yazılabilir.
50 50

Bu eşitlikler toplanarak x + x + x + . . . + x 50 - 3(x + x + x + . . . + x ) - 2 . 50 = 0 elde
50
50
50
1 2 3 50 1 2 3 50
49
edilir. Denklemin kökler toplamı (x lu terimin katsayısı 0) sıfır olduğu için elde edilen eşitlikte
50
50
50
yazılarak x + x + x + . . . + x 50 = 100 bulunur.
1 2 3 50
ALTIN NOKTA 113