Page 115 - og_2_olimpiyat

iii. Eşitsizlikler

Bazıları 'Biz burayı gezmemiş miydik?' diye soran gözlerle bakıyor. Hem 'Evet' hem de 'Hayır' şeklinde
cevap verilebilir. 'Evet' çünkü, bu ana karaya olan yolculuğumuzun başlarında basit eşitsizlikler olarak 4. Bölüm
biraz görmüştük. 'Hayır' çünkü, burada daha önce görmediğimiz yerler de göreceğiz. Genel bir yak-
laşım elde etmek için gelecek Örneklere ait Çözümleri incelemende fayda var. Hem daha ileride çok
orijinal eşitsizlikler olduğunu ve senin keşfetmeni beklediklerini müjdelemek isterim.

Şimdilik senin Dünyanda sorulmuş problemlerle bu bölümü keşfedelim.

Örnek
2
41 x in hangi aralıktaki değerleri (x + 1) < 4 eşitsizliğini sağlar?
(ÜSS - 1969)

A) –1 < x < 2 B) –∞ < x < –3 C) –3 < x < 1 D) 1 < x < ∞ E) –1 < x < 3

Çözüm Karesi 4 ten küçük olan sayının kendisi 2 den küçük olmalı fakat -2 den de büyük olmalıdır. Buna
göre -2 < x + 1 < 2 olup x in -3 < x < 1 aralığındaki değerleri eşitsizliği sağlar.
Cevap: C 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler

Örnek
42 4 katının 5 fazlası, kendisinin karesinden büyük olan en büyük tamsayı aşağıdakiler-
den hangisidir?
(ÖYS - 1997)

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Çözüm Bu problemin, seçenekleri değerlendirerek çözümü mümkündür. Ancak seçeneklerin verilmediği
durumu dikkate alarak nasıl bir yol izlememiz gerektiğini keşfedelim. x reel sayı olmak üzere, 4
katının 5 fazlası kendisinin karesinden büyük olan sayılar 4x + 5 > x eşitsizliğini sağlamalıdır.
2
Eşitsizliği x - 4x - 5 < 0 biçiminde ele alıp (x - 5)(x + 1) < 0 olarak düzenleyelim. Buna göre x in
2
5 ve -1 değerleri için eşitsizliğin sol tarafında yer alan ifadenin sıfır olacağı dikkate alınarak reel
sayıları üç gruba ayıralım. Bu gruplar 5 ten büyük sayılar, 5 ile -1 arasında kalan sayılar ve -1
den küçük sayılar. Açıktır ki -1 ve 5 değerleri ifadeyi sıfıra eşitlediği için bu gruplar ifadeyi ya po-
zitif ya da negatif yapacaktır. Zaten bizim de aradığımız, hangi x değerleri için ifade sıfırdan küçük
olmaktadır? Aşağıda örnek 43 ün çözümündeki gibi bir tabloya da dönüştürülebilecek biçimde
şu üç sonuç elde edilmektedir. 5 ten büyük x değerleri için ifade sıfırdan büyük, 5 ten küçük -1
den büyük x değerleri için ifade sıfırdan küçük ve -1 den küçük x değerleri için ifade yine sıfırdan
büyüktür. Netice olarak -1 < x < 5 için eşitsizlik (x - 4x - 5 < 0) sağlandığına göre 4 katının 5
2
fazlası, kendisinin karesinden büyük olan en büyük tam sayı 4 tür.
Cevap: B

ALTIN NOKTA 115