Page 116 - og_2_olimpiyat

Örnek
43 a < b < 0 < c olduğuna göre, ax(bx + c) < 0 eşitsizliği hangi x değerleri için sağlanır?
(ÜSS - 1976)
c c c c
A) x < 0 B) - < x < 0 C) 0 < x < - D) x ≤ - E) - < x
b b b b

Çözüm Bir önceki Örnekde izlediğimiz yöntemi daha da genelleştirelim. Şöyle yapıyoruz; eşitsizlik sağ
tarafı sıfır, sol tarafı çarpanlarına ayrılmış biçimde düzenlenir. Zaten problemimizde de böyle ya-
4. Bölüm
pılmış (böyle olmayan durumlarda biz düzenleriz) olduğu için ikinci aşamaya geçiyor ve sol tarafı
sıfır yapan değerleri (bunların bizim için ne kadar kritik değerler olduğunu anlıyorsun) sayı doğru-
sundaki sırasına göre belirliyoruz. Şimdi işimiz daha kolay, çünkü kritik değerlerce bölünmüş reel
sayı aralıklarından en sağdaki daima ifadenin baş katsayısı ile belirlenebilecek işarettedir. Bunun
sebebi açık çünkü sonsuza yaklaşan x değerleri için ifadenin alacağı sonuç elbette en büyük
değişkenin baş katsayısı ile aynı işarette olacaktır. Bu teorik görünümlü açıklamayı problemimize
uyarlayalım. Eşitsizliğin sol tarafını sıfır yapan kritik değerlerimiz x = 0 ve x = - c için reel sayılar
b
üç gruba ayrılır. - c pozitif olduğu için bu değerden büyük tüm sayılar için ifade a.b nin işareti ile
b
aynı işarette olacaktır. Yani x in - c den büyük değerleri için ifade pozitiftir. x in 0 ile - c arasın-
b b
daki değerler için ifade negatif ve x in sıfırdan küçük değerleri için ifade yine pozitif olur. Böylece

tüm x değerleri arasından hangileri için ifadenin pozitif ya da negatif olduğunu görebiliyoruz. Bu
durumu aşağıdaki gibi bir tablo ile de görünür kılabilirsin;

x değerleri -∞ 0 - c ∞
b
ax(bx + c) + - +
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Sonuç olarak ax(bx + c) < 0 eşitsizliği 0 < x < - c aralığındaki x değerleri için sağlanır.
b
Cevap: C

Örnek
2
2
44 x(x - 4)(x + x + 1) > 0 eşitsizliğini, x in hangi değerleri sağlar?
(ÜSS - 1977)
A) –2 < x < 2 , x < –3 B) – 2 < x < 2 C) –2 < x < 0 , x > 2
D) x < –2 E) x > 2

2
Çözüm Eşitsizliğin sol tarafını sıfır yapan kritik değerler x = 0, x = -2 ve x = 2 dir. x + x + 1 çarpanının
2
diskriminantı (1 - 4.1.1 = -3) negatif olduğu için reel kökü yoktur. Kritik değerler ile reel sayıları
dört gruba ayırırız.
En sağdaki grupta bulunan x değerleri ifadeyi pozitif yapar. Sonra sırasıyla her grup için ifadenin
alacağı değerin işareti ilk işaretin değiştirilerek elde edilebileceği biçimde sonuç bulunur. İfadenin
işaret incelemesini gösteren bir tablo oluşturalım.

x değerleri -∞ -2 0 2 ∞

x(x - 4)(x + x + 1) - + - +
2
2
2
2
Buna göre, x(x - 4)(x + x + 1) > 0 eşitsizliğini, x in –2 < x < 0 ve x > 2 değerleri sağlar.
Cevap: C

116 ALTIN NOKTA