Page 145 - og_2_olimpiyat

Örnek a = -1, a = 2 ve her n ≥ 3 için, a = a n−1 ise a kaçtır?
25 1 2 n a 2006
n− 2
(UMO - 2006)
1 1
A) -2 B) -1 C) - D) E) 2 5. Bölüm
2 2

a 2 2 a 3 − 2
Çözüm Verilen bilgilerle diğer terimleri bulalım; a = a = − 1 den a =− 2, a = a = 2 den a = -1,
4
3
3
4
1 1 2
a − 1 1 a 1
a = 4 = den a = , a = 5 = 2 den a =− dir. 'İyi de böyle mi a
5
a 3 − 2 5 2 6 a 4 − 1 6 2 2006
bulunacak? Çok vaktimizi alacak gibi görünüyor' şeklinde düşünebilirsin. Seni anlıyorum, biraz
daha devam edelim bakalım ne olacak?
1
a a − 1
1
a = 6 = 2 den a =− , a = 7 = dena = 2 olur. Gördüğün gibi başa dönmüş olduk. Di-
7
a 5 − 1 7 8 a 6 − 1 8
2 2
zinin terimleri her 6 terimde tekrarlanıyor. Bu durumda 2006. terimin hangi terim ile aynı olduğunu
bulmalıyız. Zaten görüldüğü üzere k = 0, 1, 2, 3, . . . için a = -1, a = 2, a = -2, a = -1,
6k+1 6k+2 6k+3 6k+4
1 1
a = , a = - olduğuna göre (2006 = 6.338 + 2) a = 2 dir.
6k+5 2 6k 2 2006
Cevap: E DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
Örnek a = 1999, a = 2000 ve her n ≥ 0 tam sayısı için a = 1 + a n + 1 ise a kaçtır?
26 0 1 n + 2 a n 2001
(UİMO - 1999)
998
A) B) 1999 C) 2000 D) 2001 E) Hiçbiri
3

Çözüm Biraz daha uğraştıracak gibi görünse de başlayalım.
1+ a 1 2000 2001
+
n = 0 için a = 1 = dan a = ,
2 a 1999 2 1999
0
2001
1+ a 1+ 2
n = 1 için a = 2 = 1999 dan a = ,
3 a 2000 3 1999
1
2
1+
1+ a
n = 2 için a = 3 = 1999 dan a = 1,
4 2001 4
a 2
1999
1+ a 1+ 1
n = 3 için a = 4 = dan a = 1999 olur. Bu terim a ile aynı.
5
a 3 2 5 0
1999
1+ a 1 1999
+
n = 4 için a = 5 = dan a = 2000 bulduğumuza göre başa dönmüş olduk. Buna göre
6 a 1 6
4
dizi 5 terimde bir tekrarlandığı için k = 0, 1, 2, 3, . . . olmak üzere a = 1999, a = 2000,
5k 5k+1
2001 2
a = , a = , a = 1 dir. Sonuç olarak (2001 = 5.400 + 1) a = 2000 dir.
5k+2 1999 5k+3 1999 5k+4 2001
Cevap: C
ALTIN NOKTA 145