Page 147 - og_2_olimpiyat

Örnek
2
30 n bir pozitif tam sayı olmak üzere, ilk n teriminin toplamı S = 3n + 2n olan bir dizinin
n
10. terimi kaçtır? 5. Bölüm

Bu problem için kullanacağımız çok sade (basit de denilebilir) bir bakış açısını keşfetmeni istedim.
Çözüm
a + a + a + . . . + a = S = 3 . 9 + 2 . 9 dan ilk 9 terimin toplamı S = 261 dir. Bununla beraber
2
1 2 3 9 9 9
a + a + a + . . . + a + a = 3 . 10 + 2 .10 dan ilk 10 terim toplamı da S = 320 dir. Sonuç olarak
2
1 2 3 9 10 10
S + a = S olduğundan 261 + a = 320 ve dizinin 10. terimi a = 59 dur.
9 10 10 10 10

Örnek S = 1, S = 1 - 2, S = 1 - 2 + 3, S = 1 - 2 + 3 - 4,
31 1 2 3 4
S = 1 - 2 + 3 - 4 + . . . + (-1) n + 1 . n ise S + S kaçtır?
n 95 100
(UİMO - 1997)
A) 0 B) 1 c) -1 D) 2 E) -2

S = 1 - 2 + 3 - 4 + . . . + 93 - 94 + 95 işleminde ikişerli olarak yapılan işlemden -1 elde edildiği
Çözüm 95 DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
111 −
...
için S 95 = −−− 1 + 95 = 48 dir. S 100 = 1 - 2 + 3 - 4 + . . . + 99 - 100 den

47 tan e
−
111...
1
S 100 = −−− = -50 dir. Buna göre S + S = 48 - 50 = -2 dir.

50 tan e 95 100 Cevap: E
ii. Aritmetik Dizi:
Genel olarak dizileri tanıdık. Tabii ki her açıdan dizileri keşfetmeyi tamamlamış değiliz. Fakat bizim için
bu gezinti yeterince fikir vermiştir. Şimdi iki özel dizi ile tanışacaksın. Önce aritmetik dizi ile başlıyoruz.
Temel özelliğini keşfetmen diğer özelliklerini keşfetmek için anahtar görevi görecektir. Bu çok önemli
başlangıcı hafife almamanı tekrarlayıp yola düşelim. Haydi keşfe!

Ardışık terimleri arasındaki farkın eşit olduğu dizilere aritmetik dizi denir.

(a ) = (a , a , a , ..., a , ...) dizisinde
n 1 2 3 n
a - a = a - a = a - a = ... = a - a = a - a = d eşitliği sağlanıyorsa bu dizi bir aritmetik dizidir.
2 1 3 2 4 3 n n-1 n+1 n
Bu eşitlikteki d sayısına aritmetik dizinin ortak farkı denilir.

Örnek
32 Sırası ile x - 1, 2x + 3, 4x - 5 ifadelerinin bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi olması için
x kaç olmalıdır?

Ardışık terimleri arasında eşit fark olan diziler aritmetik dizi olarak adlandırıldığına göre bu üç
Çözüm
ifade için 2x + 3 - (x - 1) = 4x - 5 - (2x + 3) eşitliği sağlanmalıdır. Buna göre, x + 4 = 2x - 8 den
12 = x olur. Gerçekten de x = 12 için 12 - 1, 2 . 12 + 3, 4.12 - 5 (11, 27, 43) terimleri aralarındaki
fark eşit ve bu ortak farkın 16 olduğu bir aritmetik dizidir.

ALTIN NOKTA 147