Page 146 - og_2_olimpiyat

Örnek
27 Bir (a ) dizisi a = 1, a = 5 ve her n ≥ 2 için, a - 2a + a = 7 şeklinde tanımlanmak-
n+1
1
n
2
n-1
n
tadır. Buna göre, a kaçtır?
17
(UMO - 2008)
A) 895 B) 900 C) 905 D) 910 E) Hiçbiri
Çözüm Bu sefer işimiz kolay gibi ne de olsa sadece 17. terimi bulacağız (!)
5. Bölüm
n = 16 için a - 2a + a = 7
17 16 15
n = 15 için a - 2a + a = 7
16 15 14
n = 14 için a - 2a + a = 7
15 14 13
. . . . . .
n = 3 için a - 2a + a = 7
4 3 2
n = 2 için a - 2a + a = 7 eşitlikleri topladığımızda a - a - a - a = 7 . 15 elde edilir.
3 2 1 17 16 2 1
Burada 1. ve 2. terimleri kullanarak 17. terimi bulmamız gerekiyordu fakat 16. terimi bilmiyoruz.
Galiba biraz erken konuştum. Neyse problem değil hallederiz. Şöyle; yukarıdaki toplamı n = 15 ve
aşağısındaki eşitlikleri topladığımızda a - a - a + a = 7 . 14, n = 14 ve aşağısındaki eşitlikleri
16 15 2 1
topladığımızda a - a - a + a = 7 . 13 olur. Bu yeni eşitlikleri şimdi alta alta sıralayıp toplayalım;
15 14 2 1
a - a - a + a = 7 . 15
17 16 2 1
a - a - a + a = 7 . 14
16 15 2 1
a - a - a + a = 7 . 13
2
1
14
15
. . .
a - a - a + a = 7 . 3
5 4 2 1
a - a - a + a = 7 . 2
4 3 2 1
a - a - a + a = 7 . 1
3 2 2 1
a - a + 15 . (-a + a ) = 7 . (15 + 14 + 13 + ...+ 2 + 1) işlemi ile
17 2 2 1
15 16
.
a - 5 + 15 . (-5 + 1) = 7. elde edilir. Buna göre, a -5 - 60 = 840 dan a = 905 dir.
17 2 17 17
Cevap: C
DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
Örnek
28 Genel terimi a = 1! + 2! + 3! + . . . + n! olarak verilen (a ) dizisinin 5. terimi kaçtır?
n
n
Cevabı 120 bulanlar dikkat. Dizinin 5. terimi için a = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! işleminin sonucu bu-
Çözüm 5
lunmalıdır. Buna göre, dizinin 5. terimi a = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153 tür.
5
Örnek
2
2
2
2
29 Genel terimi a = 1 + 2 + 3 + . . . + n olan dizinin ilk beş teriminin toplamı kaçtır?
n
Bir önceki probleme benziyor. Acele etmeden tek tek beş terimi de bulalım.
Çözüm
1. terim a = 1, 2. terim a = 1 + 4 = 5, 3. terim a = 1 + 4 + 9 = 14, 4. terim a = 1 + 4 + 9 + 16 =
1 2 3 4
30 ve son olarak dizinin 5. terimi a = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 tir. Buna göre, dizinin ilk beş terimi
5
toplamı 1 + 5 + 14 + 30 + 55 = 105 tir.
'ya daha çok terimin toplanması gerekseydi?' sorusunu ilerde nasıl cevaplandıracağımızı zaten
göreceksin. Burada keşfetmeni istediğim bir diğer gösterim var. O nedenle aynı biçimli bir örneği
tekrar gördük. Bir dizinin ilk n terim toplamı S biçiminde gösterilir. a + a + a + . . . + a = S
n 1 2 3 n n

146 ALTIN NOKTA