Page 148 - og_2_olimpiyat

Örnek
33 İlk terimi -3 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin,
a) 99. terimi kaçtır?
b) Genel terimini bulunuz.
"Yahu arkadaş, insan 5. terimi ya da 8. terimi sorar. Yok illa ki zor sormak istiyorsun 20.
terimi filan sorar. Kim oturup da şimdi 99. terimi bulacak :("diyen varsa onlara tebessüm
edip geçelim :)
5. Bölüm

a) Tabii ki de -3 ten başlayıp 4 er ekleyerek 99. terimi bulmanın benzer fakat pratik bir yolunu
Çözüm
kullanacağız. Gezegenimde böyle pratik yollar için formül kelimesi de kullanılıyor.
a = -3 + 4, a = -3 + 4 + 4 = -3 + 2.4, a = -3 + 2.4 + 4 = -3 + 3 . 4 biçiminde ilerleyen dizinin te-
2 3 4
rimleri bize şu durumu fark ettiriyor; her bir yeni terim aslında başlangıca (ilk terime) göre kaç tane
fark eklendiği ile bulunur. Seslendirerek ifade etmek gerekirse ilk terime (-3), 2. terimi bulmak için
1 tane, 3. terim için 2 tane, 4. terim için 3 tane ortak fark (4) eklemek gerekiyor. Buna göre, 99.
terim için ilk terime 98 tane ortak fark eklenmelidir.
Sonuç olarak dizinin 99. terimi -3 + 98 . 4 ten 389 olarak bulunur.
b) İşte aynı biçimde, ilk terimi ve ortak farkı bilinen bir aritmetik dizinin her bir terimi (doğal olarak
genel terimi de) bulunabilir.
a − a = a − a = a − a = ... = a − a n 1 = a n 1 − a = d olmak üzere,
1
3
3
2
2
−
n
+
4
n
a = a + d, a = a + 2d, a = a + 3d, a = a + 4d, . . . a = a + (n - 1) . d olur.
2 1 3 1 3 1 5 1 n 1
ilk terimi a , ortak farkı d olan (a ) aritmetik dizisinin genel terimi a = a + (n - 1) . d dir.
1 n n 1
Buna göre dizinin genel terimi a = -3 + (n - 1) . 4 ten a = 4n - 7 dir.
n n
Örnek A, B, C, D, E, F farklı rakamları belirtmek üzere, ilk beş teriminin on tabanına göre ya-
34
zılımları sırasıyla A, BC, BD, CE, FF olan bir aritmetik dizinin altıncı terimi nedir?
(UİMO - 2010)
DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
A) 51 B) 46 C) 41 D) 38 E) Hiçbiri
Çözüm Dizinin 3. ve 2. terimlerinden (BD - BC = D - C) ortak farkın en çok 9 olabileceği anlaşılır. Bu
durumda BC - A = D - C olacağından (10B + C - A = D - C den 10B + 2C = D + A) B rakamı
1 dir. Bu durumda diğer iki terim (CE, FF) için C = 2 ve F = 3 olmalıdır. Buna göre dizinin, ikinci
terimi 12, beşinci terimi 33 olup 33 = 12 + (5 - 2).d eşitliğinden 21 = 3d ile ortak farkı 7 dir. Sonuç
olarak aritmetik dizinin 6. terimi 33 + 7 = 40 tır. Sonuç olarak cevap A, B, C ve D değil "Hiçbiri"
Cevap: E

148 ALTIN NOKTA