Page 197 - og_2_olimpiyat

YİĞİTLER MEYDANI - 4
YİĞİTLER MEYDANI - 4

yzz +
+
x 64 +
+
x −
+
2
2
16
2

1 Tam kare ifadeler elde edecek şekilde y − 2 2 z + 8 z 16 = 0 düzenlediği-

+
( x 8) 2 ( yz) 2 ( z 4) ) 2 DEFİNE HARİTASI
−
−
mizde x = 8, y = z = -4 olur. Buna göre x + y + z = 8 - 4 - 4 = 0 dır.
Cevap: A
4x −
4x +
+
=
2
2 Eşitliği 4 katını alarak düzenleyelim. Bu durumda 1114y 2 eşitliği ile
( 2x− ) 1 2
(2y) - (2x -1) = 11 den (2y - 2x + 1)(2y + 2x - 1) = 11 olur. Buna göre, 2y - 2x + 1 = -11 ve
2
2
2y + 2x - 1 = - 1 denklem çifti toplanarak 4y = -12 den y = -3 ve 2.(-3) + 2x - 1 = -1 den 2x = 6
ve x = 3 bulunur. Benzer biçimde 11 in çarpanları (1.11, 11.1, -1.-11, -11.-1) kullanılarak dört
farklı denklem çifti ile yapılacak işlemlerle; (-2, 3), (-2, -3), (3, 3) ve (3, -3) olmak üzere 4 tane
(x, y) tam sayılı ikilisi bulunur.
Cevap: D
3 En az bir x için y = z olmalıdır. Bu durumda x - 4x + 5 + a = -4x + 12x - 8 - b eşitliği ile
2
2
5x - 16x + 13 + a + b = 0 olur. Eşitliğin 5 katı alınıp 25x - 80x + 64 + 1 + 5a + 5b = 0 dan
2
2
(5x - 8) + 1 + 5a + 5b = 0 olduğundan (a, b) pozitif tam sayı ikilileri için toplam daima pozitif olup
2
eşitlik sağlanmaz. Sonuç olarak 0 tane (a, b) ikilisi vardır.
Cevap: A
4 Denklemin 2 katını alıp düzenleyelim. Buna göre, 4a - 4ab + b + b + 4b + 4 = 0 den
2
2
2
(2a - b) + (b + 2) = 0 olur. Buna göre, 2a = b = -2 olup a = -1 dir. Sonuç olarak (-1, -2) olmak
2
2
üzere, denklemi sağlayan 1 tane (a, b) ikilisi vardır.
Cevap: B
5 İfade p + 2pq + q + pq = x biçiminde yazılabilir. Buna göre, x - (p + q) = pq den çarpanlara
2
2
2
2
2
ayırarak (x - p - q)(x + p + q) = pq olur. Eşitlikte x in pozitif değerleri için çarpanları p ya da q olarak
seçemeyeceğimizden x - p - q = 1 ve x + p + q = pq olmalıdır. Toplam 2x = 1 + pq olduğu için p
ve q tek asal sayılardır. Farkı ile 2p + 2q = pq - 1 olup düzenleyerek pq - 2p - 2q + 4 = 5 den
(p - 2)(q - 2) = 5 eşitliği elde edilir. Eşitlik p = 7, q = 3 sağlanır. Sonuç olarak (7, 3) ve (3, 7) olmak
üzere 2 farklı asal sayı ikilisi vardır.
Cevap: B
y +
+
+
6 Eşitliği 4 katını alarak düzenleyelim. x + 4 xy 4 2 3 x + 12 x 12161− z) eşitliği ile
=
2
2
(

+
( x 2 y) 2 3.( x 2) 2
+
(x + 2y) + 3.(x + 2) = 16(1 - z) olur. Bu durumda z > 1 için kareler toplamı negatif olamayacağı
2
2
için eşitlik sağlanmaz. Buna göre; z = 1, x + 2 = 0 ve x + 2y = 0 olmalıdır. Sonuç olarak x = -2 ile
2y = 2 ve y = 1 olduğundan x + y + z = -2 + 1 + 1 = 0 dır.
Cevap: B
ALTIN NOKTA 197