Page 198 - og_2_olimpiyat

YİĞİTLER MEYDANI - 4
YİĞİTLER MEYDANI - 4

2
7 Eşitliğin sol yanını çarpanlarına ayıralım. (4a - 1)(a - 1) = (n - 1) eşitliği a = n = 1 için sağlanır.
2
2
2
2
2
2
Eşitliği tam kare içerecek şekilde düzenlediğimizde (2a - 1) = a + n - 1 ya da
2
2
2
2
2
(2a - 2) = -3a + n - 1 olup iki denklemin farkı (2a - 1) - (2a - 2) = 4a bulunur. Ancak soldaki
2
2
2
2
2
2
işlem (ardışık iki sayının kareleri farkı) tek olup sağdaki sayı çift olduğu için denklemi sağlayan
başka (a,n) ikilisi yoktur. Sonuç olarak (1, 1), (1, -1), (-1, 1) ve ( -1, -1) olmak üzere 4 tane (a, n)
tam sayılı ikilisi vardır. Hiçbiri doğrudur.
DEFİNE HARİTASI
Cevap: E
8 Eşitliği tam kare ifadeler oluşacak biçimde düzenleyelim; 2b = 4b -2b olarak kullanalım.
+
+
2
2
+
+
2
2
2
+
+ b
acc + c
− b2
+− bc12
+ c2

a + 4 b + 1 4 ab 2 a 4 b a + 2 2 = 0 eşitliği ile

+
+
+
( a 2 b 1) 2 ( ac) 2 ( cb 2
−+1)
2
2
2
(a + 2b + 1) + (a + c) + (c - b + 1) = 0 elde edilir. Buna göre, a + c = 0 olduğundan
c - b + 1 = 0 ve a + 2b + 1 = 0 denklemlerinin toplamı olan c + a + b + 2 = 0 den b = -2 olur.
Sonuç olarak a + b + c = -2 dir.
Cevap: E
9 Herhangi iki denklemin farkı alınırsa (örneğin ilk iki denklem) x + yz - y - xz = 6 - 6 dan
x - y - z(x - y) = 0 ve (x - y)(1 - z) = 0 olduğu için z = 1 ya da x = y olmalıdır.z = 1 için üç denklem;
ikisi x + y = 6 ve 1 + xy = 6 biçiminde olup x = 1 ile y = 5 olabilir. Bu durumda (1, 1, 5), (1, 5, 1) ve
(5, 1, 1) biçiminde 3 tane (x, y, z) tam sayı üçlüsü olur. x = y için (farklı iki denklemin farkı ile)
2
x = y = z olduğundan x + x = 6 dan (x - 2)(x + 3) = 0 ile x = 2 ve x = -3 bulunur. Bu durumda
(2, 2, 2) ve (-3, -3, - 3) biçiminde 2 tane tam sayı üçlüsü vardır. Sonuç olarak denklemleri sağla-
yan toplam olarak 5 tane (x, y, z) tam sayı üçlüsü vardır.
Cevap: E
2
10 x + xy + xy = 35 denklemini x + xy = 35 - xy biçiminde yazıp iki tarafın karesini alalım. Bu durum-
2
da x + 2x.xy + x y = 35 - 70xy + x y den x + x y + x y = 35 - 70xy elde edilir.
2 2
2 4
2 2
2
2
2
2 4
2
2
2 4
2
2
2 2
x + x y + x y = 525 bilgisinden 525 = 35 - 70xy eşitliği ve 70xy = 1225 - 525 den xy = 10 bulunur.
Buna göre ilk denklemde xy yerine 10 yazıp x + 10 + 10.y = 35 ile x + 10.y = 25 ve
2
(xy = 10 dan x yerine eşiti yazılarak) x + 10 . 10 = 25 bulunur. Denklemi x + 100 = 25.x biçiminde
x
2
düzenleyerek x - 25.x + 100 = 0 ve (x - 20)(x - 5) = 0 dan x = 20 ile x = 5 bulunur. Sonuç olarak
x değerleri toplamı 25 tir.
Cevap: E
)
(
(
3
3
7)
3
11 3 3x + 7 − 3 3x − 7 = 2 eşitliğinde 3x + 7 = a a = 3x + 7 ve 3 3x − 7 = b b = 3x − olmak üzere
3
a - b = (a - b) + 3ab(a - b) özdeşliği içinde kullanalım. Buna göre,
3
3
3
3
3
3x + 7 - 3x + 7 = 2 + 3. (3x + 7 ).(3x − 7 ).2 den 14 - 8 = 6. (3x + 7 ).(3x − 7 ).2 olur.
50 5ñ2
3
6 = 6 9x 2 − 49 eşitliği ile 9x - 49 = 1 den x = ve x = tür.
2
2
.
9 3
Cevap: D
2
s r 2 2 s − r 2 r 2 + 2 s
12 - = + eşitliğinden = ve (s - r)(s + r) = 2(s + r) olur. Buna göre, eşitlik
r s s r sr sr
s + r = 0 için (-2011, 2011), (-2010, 2010), . . . , (2011, - 2011) biçiminde 2011 - (-2011) + 1 = 4023
tane ve (s ≠ r ) s - r = 2 için (-2009, -2011), (-2008, -2010), . . . , (2011, 2009) biçiminde
2011 - (-2009) + 1 = 4021 tane (s, r) tam sayı ikilileri vardır. Ancak paydada bulunan s ve r nede-
niyle bu ikililerden; (0, 0), (0, -2) ve (2, 0) olamadığı için toplam 8041 tane (s, r) ikilisi vardır.
Cevap: D
198 ALTIN NOKTA