Page 199 - og_2_olimpiyat
P. 199
YİĞİTLER MEYDANI - 4
YİĞİTLER MEYDANI - 4
2
2
2
13 Tüm eşitlikler toplandığında a + b + c + d = 2a + 4b - 6c + 10d - 38 elde edilir.
2
2
2
Buna göre, a -2a + 1 + b - 4b + 4 + c + 6c + 9 + d - 10d + 25 = 1 den tam kare ifadeler ile DEFİNE HARİTASI
2
2
2
2
2
2
(a - 1) + (b - 2) + (c + 3) + (d - 5) = 1 elde edilir. Bu durumda a + b + c + d nin en küçük değeri
için tam karelerin bir tanesinin 1 e (-1 in karesi) diğerlerinin 0 a eşit olması gerekir. Sonuç olarak
mesela, a = 1, b = 2, d = 5 ve (c + 3 = -1 den) c = -4 olup ifadenin alabileceği minimum değer
a + b + c + d = 1 + 2 + 5 - 4 = 4 tür.
Cevap: A
5 9
14 xy + yz = 5 + 9 dan y . xz+ = 14 ile y = 2 olur. Buna göre, xy = 5 den x = ve yz = 9 dan z =
7 2 2
5 9
olup x + 2y + 3z = + 2.2 + 3. = 20 dir. Cevap: B
2 2
15 (x + 3 2 ( 21 eşitliğinden x ++ 9 = 21 ve x + 9 = 15 olur. Diğer taraftan
) =
2
)
6
2
2
x x 2 x 2
2
(x − 9 ).(x − ) 1 xx − x − 9 .x + 9 xx 2 10 .x 2 9 9
2
2
2
2
2
2
.
.
2
+
= den − + = x + −10 olduğu için
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
2
(x − 9 ).(x − ) 1 = 15 510
2
−
= 10 dur.
x 2 Cevap: E
x x 2 y 2 x y x
y 2
=
) =
16 ( + y 2 + + 2 olduğu için denklem + + ( + ) − 218 biçiminde düzenlenip
y x y 2 x 2 y x y x
x y x x y x y
y 2
+ + ( + ) − 20 = 0 olur. Buna göre, ( + − 4 )( + + 5 ) = 0 ile x ve y pozitif olduğu için
y x y x y x y x
+
2
−
x + y = 4 olmalıdır. Sonuç olarak (xy ) 2 = x − 2 xyy 2 = x + y − 2 olduğundan (xy ) 2 = −4 - 2 = 2 dir.
−
=
42
y x xy xy y x xy
Cevap: E
2
2
17 2x - 4xy + 5y = 4x + 2y - 5 eşitliğini tam kare ifadeler elde edecek biçimde düzenleyelim.
x - 4xy + 4y + x - 4x + 4 + y - 2y + 1 = 0 ve (x - 2y) + (x - 2) + (y - 1) = 0 olduğundan
2
2
2
2
2
2
2
x = 2y = 2 olup ((2, 1) için) eşitliği sağlayan 1 tane ikili vardır. Cevap: A
−+
9
18 Elemanları 10 1 100 1 1000 1−+ + 10 − biçiminde yazıp toplama 1 ekleyip 1 çıkaralım,
−+ ...
1
9 99 999 999999999
10
10 − 1
−
10 1 10 ttane 10
11010 + 10 + ... + 10 − 111 −− bulunur. Buna göre, 10 - 1 - 10 işleminden toplam
+
+
9
3
2
−−
...
11
8 tane
9
8 tane
10 tane
...
... −
111 110 = 111 101 olur. Sonuç olarak; ortalama 111 101 = 123456789 olup 0 tüm elemanla-
...
rın A.O. nın bir rakamı değildir. 9 Cevap: E
19 x iki basamaklı sayı olmalıdır. Rakamlar toplamı en fazla 59 sayısı için (5 + 9) 14 olabilir. Buna
göre x = 47 için y = 11 ve z = 2 ya da x = 44 için y = 8 ve z = 8 ve x = 50 için y = 5 ve z = 5 olabilir.
Sonuç olarak x in alabileceği değerler toplamı 44 + 47 + 50 = 141 dir. Cevap: E
p n + p
2
2
2
2
20 n + = x olsun. Buna göre, = x 2 eşitliği ile n.x - n = p ve n(x - n) = p olur.
n n
Eşitlik; n = 1 ve x - 1 = p ya da n = p ve x - p = 1 için sağlanır. Sonuçta her iki durum için (x - 1)(x
2
2
+ 1) = p olmalıdır. Buna göre, x - 1 = 1 ile x + 1 = p den x = 2 ve 2 + 1 = p = 3 olur. Sonuç olarak (1,
3) ve (3, 3) olmak üzere 2 farklı (n, p) ikilisi vardır.
Cevap: C
ALTIN NOKTA 199
