Page 205 - og_2_olimpiyat

YİĞİTLER MEYDANI - 5
YİĞİTLER MEYDANI - 5

1 Denklemin kökler toplamı x + x = m - 1ve kökler çarpımı x . x = - m dır. Bu durumda m < 0
1 2 1 2 2 DEFİNE HARİTASI
olduğu için kökler toplamı negatif ve kökler çarpımı pozitif olacaktır. Buna göre (çarpımı pozitif ve
toplamı negatif olan) sıfırdan küçük iki kök vardır.
Cevap: D

2 Denklemin kökleri x ve x olmak üzere kökler toplamı x + x = -m - n + 10, kökler çarpımı
1 2 1 2
1 1 x + x
x . x = 2m - n + 5 dir. Köklerin terslerinin toplamı + = 1 2 olduğu için
.
1 2 x 1 x 2 xx 2
1
−
1 1 − mn + 10 5
+ = = yazılabilir. Diğer yandan - m - n + 10 ile 2m - n + 5 aralarında asal
x 1 x 2 2mn 5 6
−+
olması nedeniyle - m - n + 10 = 5 ve 2m - n + 5 = 6 dır. Buna göre ikinci denklemi birinci denk-
lemden çıkararak 2m - n + 5 + m + n - 10 = 6 - 5 den 3m = 6 ve m = 2 dir.
Cevap: D
3 İkinci dereceden ve üçüncü dereceden denklemler için kökler toplamı sırasıyla x + x = -a ve
1 2
x + x + x = -a olduğuna göre x = 0 olmalıdır. Bu 3. denkleme ait kök denklemi sağlaması gerek-
1 2 3 3
tiği için 0 + a . 0 + c.0 + d = 0 olup d = 0 dır.
3
2
Cevap: A

4 Denklemin düzenleyerek başlayalım; x + 2tx + t + 2bx + 2bt + c = 0 den denklem
2
2
2
2
x + 2(t + b)x + t + 2bx + c = 0 olur. Bu denklemin gerçel (reel) köklerinin olmaması için denklemin
diskriminantının negatif olması gerekir. Bu durumda denklemin diskriminantı
2
2
2
2
∆ = (2(t + b)) - 4 (t + 2bt + c) den ∆ = 4t + 8tb + 4b − 4t − 8bt − 4c = 4b − 4c olup
2
2
2
4b - 4c < 0 olmalıdır. Sonuç olarak b ile c arasında 4b < 4c den b < c bağıntısı vardır.
2
2
Cevap: D
5 Denklemin kökler toplamı x + x = 2 ve kökler çarpımı x + x = 4 dır. Köklerin kareköklerinin top-
2
2
1
1
lamını bulmak için karesini alarak elde edilen ( x + x ) = x + x + 2 xx eşitliği kullanalım.
2
.
1
2
2
2
1
1
( x + x ) = x + x + 2 xx 2 eşitliğinden ( x + x ) = 22 2 = 6 olup x + x 2 in pozitif
2
2
.
.
+

2
1
2
1
1
1
2
1
değeri ñ6 dır. 2 4
Cevap: A
2
1 2x −
1 2 1 2x −+ 2x + x
6 Önce eşitsizliği düzenleyelim. + - ≥ 0 dan ≥ 0 ve eşitsizliği
2 −
x 2x-1 1 xx 1)
(
(2x-1) (x) (x(2x - 1))
−(2x 2 − 5x + ) 1 ≥ 0 biçiminde düzenleriz. Bu eşitsizlik için kritik değerlerden ikisi x = 0 ve x = 1 iken
xx − )1 2
(2
diğer ikisi için diskriminant işleminden yararlanmalıyız. Bunun için 2x - 5x + 1 = 0 denkleminden dis-
(
(
2
kriminant ∆ = (-5) - 4 . 2 = 17 ve kökler x = −− 5 +) 22 17 = 5 + 4 17 ile x = −− 5 −) . 17 = 5 − 4 17
1
2
.
22
ALTIN NOKTA 205