Page 206 - og_2_olimpiyat

YİĞİTLER MEYDANI - 5
YİĞİTLER MEYDANI - 5

1
olur. Bu kritik değerleri kullanarak tablo oluşturalım. (Bulunan son kökün pozitif fakat 2 den küçük
olduğuna dikkat)
−− ( 5 − 17 5 − 17 −− ( 5 +1 17 5 + 17
)
)
x değerleri -∞ x 2 = 0 22 = x 1 = 22 2 = 4 ∞
.
4
.
−(2x 2 − 5x + ) 1 ≥ 0 - + - + -
DEFİNE HARİTASI
(2
xx − ) 1
 5 − 17 
Buna göre 1 + 2 ≥ 1 eşitsizliğinin reel sayılarda çözüm kümesi   0, 4  aralığı ile

x 2x − 1  
 1 5 + 17 
  ,  aralığının birleşimi olarak yazılabilir. Sonuç olarak bu aralıkların uzunlukları toplamı

 2 4 
5
5 − 17 + 5 + 17 − 1 = 5 − 17 + 5 + 17 − 1 den 5 − 17 + + 17 − 2 ve 8 = 2 olur.
4 4 2 4 4 2 4 4
Cevap: E

7 Verilen 3. dereceden denklemin kökler toplamı 1 + b + c = 4 ve kökler çarpımı 1.b.c = -4 olduğu
2
2
2
için b + c = 3 ve b.c = -4 tür. (b + c) = b + 2bc + c eşitliğinden b + c = (b + c) - 2bc olup
2
2
2
2
2
2
2
b 2 + c = 3 - 2(-4)den b + c toplamı 17 dir.
Cevap: A
8 Eşitsizliğin paydasında bulunan ifade için diskriminantını incelediğimizde (x + 4x + 8 = 0 denk-
2
2
leminin diskriminantı) ∆ = 4 - 4.8 = -16 den negatif olduğu görülür. Bu durumda x + 4x + 8 = 0
2
eşitliğini sağlayan bir reel sayı yoktur ve her x reel sayısı için ifade pozitif değerler alır. Buna göre
2
x + ax 1 < 8 eşitsizliğini x + 4x + 8 ifadesi ile genişletebilir ve x + ax + 1 < 8x + 32x + 64
+
2
2
2
x + 4 +
2
x 8
2
den 7x + (32 - a)x + 63 > 0 biçiminde düzenleyebiliriz. Eşitsizlik her x değeri için sağlandığına
göre 7x + (32 - a)x + 63 = 0 denkleminin reel kökü olmamalı dolayısı ile diskriminantı negatif ol-
2
malıdır. Öyle ise ∆ = (32 - a) - 4.7.63 < 0 dan 32 - 64a + a - 28.63 < 0 olur. Düzenlenmiş şekli
2
2
2
için a - 64a - 740 < 0 dan (a + 10) (a - 74) = 0 ile a - 64a - 740 < 0 eşitsizliği için kritik değerler
2
2
a = -10 ve a = 74 olarak bulunur. Bu değerler ile işaret tablosu oluşturalım.
a değerleri -∞ -10 74 ∞
a - 64a - 740 + - +
2
2
+
Tablodan anlaşıldığı üzere her x reel sayısı için x + ax 1 < 8 eşitsizliğinin sağlanması
<
8
x + 4 +
2
x 8
-10 < a < 74 aralığında bulunan a değerleri için mümkündür. Sonuç olarak a ile ilgili seçeneklerde
verilenlerden |a| < 10 veya a = 0 doğrudur. Diğer verilen bilgi, içinde a değerinin almaması gere-
ken (şartları sağlamadığından alamayacağı) değerler bulunduğu için yanlıştır.
Cevap: C ve D
9 x - 5x + p = 0 denkleminin kökleri x , x , x + qx + 30 = 0 denkleminin kökleri ise x , x ve olmak
2
3
1
2
1
2
üzere denklemlerin kökler toplamı x + x = 5 ile x + x + x = 0 iken, kökler çarpımı x . x = p ile
1 2 1 2 3 1 2
206 ALTIN NOKTA